Nos Problemas 1-18, use a Definição 7.1 para calcular .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular usando a Definição 7.1, onde a função dada é . Pelo que parece, estamos lidando com uma transformação matemática, possivelmente a transformada de Laplace. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como aplicar a definição dessa transformada e trabalhar com funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que fique mais fácil de aplicar a definição. Temos:
Isso nos ajuda a separar a constante da parte que depende de .

Passo 3

Agora, vamos lembrar da Definição 7.1. Supondo que seja a transformada de Laplace, a definição é:
Então, vamos aplicar isso à nossa função .

Passo 4

Substituindo na definição, temos:
Simplificamos as exponenciais multiplicando os termos no expoente.

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
Essa integral converge se o expoente de for negativo, ou seja, se , o que implica .

Passo 6

Assumindo que , a integral fica:
Aqui, avaliamos a integral e simplificamos.

Resposta

Portanto, a transformação é:

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