Nos Problemas 1-18, use a Definição 7.1 para calcular
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular
usando a Definição 7.1, onde a função dada é
. Pelo que parece, estamos lidando com uma transformação matemática, possivelmente a transformada de Laplace. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como aplicar a definição dessa transformada e trabalhar com funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma que fique mais fácil de aplicar a definição. Temos:
Isso nos ajuda a separar a constante
da parte que depende de
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da Definição 7.1. Supondo que seja a transformada de Laplace, a definição é:
Então, vamos aplicar isso à nossa função
.
Passo 4
Substituindo
na definição, temos:
Simplificamos as exponenciais multiplicando os termos no expoente.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Essa integral converge se o expoente de
for negativo, ou seja, se
, o que implica
.
Passo 6
Assumindo que
, a integral fica:
Aqui, avaliamos a integral e simplificamos.
Resposta
Portanto, a transformação
é:
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(Linearidade da
(Linearidade da
Escreva as formas de decomposição em fraçōes parciais da funçăo (como no Exemplo 7). Nâo determine os valores numéricos dos coeficientes.
(b)
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