Nos Problemas 1-18, use a Definição 7.1 para calcular
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular
onde
. Isso está ligado à matéria de Transformadas de Laplace. Para resolver, vamos precisar usar a Definição 7.1 da Transformada de Laplace, que basicamente é uma maneira de transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Vamos seguir os passos juntos!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Pela Definição 7.1, a Transformada de Laplace de uma função
é dada por:
Aqui,
é uma variável complexa. Nosso objetivo é aplicar essa definição para a função
.
Passo 3
Vamos substituir
na fórmula da Transformada de Laplace:
Podemos simplificar os termos exponenciais:
Então a integral fica:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a integral:
Essa é uma integral do tipo
, cuja solução é conhecida. A fórmula geral é:
No nosso caso, temos
e
. Para que a integral convirja, precisamos que a parte real de
seja positiva, ou seja,
.
Passo 5
Aplicando a fórmula à nossa integral:
Lembrando que
.
Resposta
Portanto, a Transformada de Laplace de
é: