Nos Problemas 1-18, use a Definição 7.1 para calcular S(ft).
f(t) = t^2 * e^(3 * t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular onde . Isso está ligado à matéria de Transformadas de Laplace. Para resolver, vamos precisar usar a Definição 7.1 da Transformada de Laplace, que basicamente é uma maneira de transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Vamos seguir os passos juntos!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Pela Definição 7.1, a Transformada de Laplace de uma função f(t) é dada por:
Aqui, s é uma variável complexa. Nosso objetivo é aplicar essa definição para a função .

Passo 3

Vamos substituir f(t) na fórmula da Transformada de Laplace:
Podemos simplificar os termos exponenciais:
Então a integral fica:

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral:
Essa é uma integral do tipo , cuja solução é conhecida. A fórmula geral é:
No nosso caso, temos e . Para que a integral convirja, precisamos que a parte real de seja positiva, ou seja, b.

Passo 5

Aplicando a fórmula à nossa integral:
Lembrando que .

Resposta

Portanto, a Transformada de Laplace de é:

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