Encontre o limite. Use a Regra de l lim x 1 sen(x-1)x^3+x-2

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente precisa encontrar o limite de sin(x-1)x^3+x-2 quando x se aproxima de 1. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de limites, especificamente a Regra de l’Hôpital, que é útil quando temos uma indeterminação do tipo 00 ou inftyinfty.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se, ao substituir x = 1 na função, a gente encontra uma forma indeterminada que justifica o uso da Regra de l’Hôpital. Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente:
  • Numerador: sin(1-1) = sin(0) = 0
  • Denominador: 1^3 + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0
Como obtemos 00, podemos aplicar a Regra de l’Hôpital.

Passo 3

A Regra de l’Hôpital nos diz que, se o limite resulta em 00 ou inftyinfty, podemos calcular o limite das derivadas do numerador e do denominador. Ou seja:
lim x 1 sin(x-1)x^3+x-2 = lim x 1 ddx sin(x-1)ddx (x^3+x-2)

Passo 4

Vamos calcular as derivadas:
  • Derivada do numerador: ddx sin(x-1) = cos(x-1) cdot 1 = cos(x-1)
  • Derivada do denominador: ddx (x^3+x-2) = 3x^2 + 1
Agora, o limite fica:
lim x 1 cos(x-1)3x^2 + 1

Passo 5

Substituímos x = 1 agora nas derivadas:
  • Numerador: cos(1-1) = cos(0) = 1
  • Denominador: 3(1)^2 + 1 = 3 + 1 = 4
Então, o limite é 14.

Resposta

O limite é 14.

Exercícios relacionados