Prove cada proposição usando a definição
de limite.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede para provar que o limite de 1 quando
se aproxima de 3 é igual a 1, usando a definição de limite com
e
. Aqui, a matéria que estamos usando é o conceito de limites na matemática, e vamos precisar entender como funciona essa definição para fazer a prova.
Passo 2
A definição de limite diz que
significa que, para todo
, existe um
tal que, se
, então
. Basicamente, isso quer dizer que podemos fazer
ficar tão perto de
quanto quisermos, escolhendo
suficientemente próximo de
.
Passo 3
No nosso caso,
,
e
. Queremos provar que
. Vamos aplicar a definição: para todo
, precisamos encontrar um
tal que se
, então
.
Passo 4
Vamos analisar
:
Vemos que, independentemente do valor de
, essa diferença é sempre 0, que é sempre menor que qualquer
.
Passo 5
Como
para qualquer
, não importa o que escolhemos para
. Podemos escolher qualquer
, por exemplo,
.
Resposta
Portanto, usando a definição de limite com
e
, provamos que
.
Exercícios relacionados
Determine um número
para o
dado tal que se
então
.
(b) .
(b)
Se
, calcule:
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Encontre o limite. Use a Regra de l