Prove cada proposição usando a definição de limite.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para provar que o limite de 1 quando se aproxima de 3 é igual a 1, usando a definição de limite com e . Aqui, a matéria que estamos usando é o conceito de limites na matemática, e vamos precisar entender como funciona essa definição para fazer a prova.

Passo 2

A definição de limite diz que significa que, para todo , existe um tal que, se , então . Basicamente, isso quer dizer que podemos fazer ficar tão perto de quanto quisermos, escolhendo suficientemente próximo de .

Passo 3

No nosso caso, , e . Queremos provar que . Vamos aplicar a definição: para todo , precisamos encontrar um tal que se , então .

Passo 4

Vamos analisar :
Vemos que, independentemente do valor de , essa diferença é sempre 0, que é sempre menor que qualquer .

Passo 5

Como para qualquer , não importa o que escolhemos para . Podemos escolher qualquer , por exemplo, .

Resposta

Portanto, usando a definição de limite com e , provamos que .

Exercícios relacionados

Determine um número para o dado tal que se então .
(b) .
Esboce a região delimitada pelas curvas . Expresse, por meio de integrais, o volume do sólido obtido pela rotação de em torno da reta indicada: . Não é necessário calcular as integrais.
Se , calcule:
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Encontre o limite. Use a Regra de l