Encontre os limites. (Dica: multiplique e divida a expressão pelo © lim x infty(raizx^2+3 x+1-x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão quer que a gente encontre o limite quando tende ao infinito da expressão . Para resolver isso, vamos usar um truque de multiplicar e dividir pela expressão conjugada, que nos ajuda a simplificar expressões com raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar e dividir a expressão pelo conjugado de limx infty ( raizx^2 + 3x + 1 - x ) times raizx^2 + 3x + 1 + x raizx^2 + 3x + 1 + x . Isso nos ajuda a eliminar a raiz na expressão. Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o numerador. Usando a identidade ( raizx^2 + 3x + 1 )^2 - x^2 = x^2 + 3x + 1 - x^2 = 3x + 1 , temos:
limx infty 3x + 1raizx^2 + 3x + 1 + x
Então, a expressão fica:

Passo 4

Para simplificar ainda mais, vamos dividir o numerador e o denominador por limx infty 3 + 1xraiz1 + 3x + 1x^2 + 1 :

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento dos termos quando 3 + 0raiz1 + 0 + 0 + 1 = 31 + 1 = 32 tende ao infinito:
  • tende a 0
  • tende a 0
  • tende a 0
Então, a expressão simplifica para:

Resposta

O limite é .

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