Encontre os limites nos exercícios 1-12. lim (x, y) (0,0) e^y sen xx

Passo 1

Então, temos que encontrar o limite de quando e^y sen xx se aproxima de (x, y). Este problema está relacionado ao cálculo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos analisar cada parte da expressão separadamente e ver como elas se comportam quando (0,0) e x se aproximam de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o termo . Sabemos que, quando sen x / x se aproxima de 0, se comporta de forma que se aproxima de 1. Isso é um limite clássico que aparece frequentemente em cálculo.

Passo 3

Agora, vamos analisar o termo e^y. Quando y se aproxima de 0, a exponencial e^y pode ser expandida usando a série de Taylor:
e^y = 1 + y + y^22! + cdots
À medida que y se aproxima de 0, todos os termos além do primeiro ( 1) tornam-se muito pequenos, então podemos aproximar:
limy to 0 e^y = 1

Passo 4

Finalmente, juntando as duas análises, temos que:

Resposta

O limite é igual a 1.

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