Faça os gráficos das seguintes funções modulares:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o gráfico da função modular . Esse tipo de problema envolve entender como as expressões dentro dos valores absolutos se comportam e depois juntar tudo para desenhar o gráfico. Vamos precisar conhecer um pouco sobre funções absolutas e como quebrar a função em partes mais simples para facilitar o desenho.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as expressões dentro dos valores absolutos: e .
  1. :
    • Vamos encontrar onde essa expressão muda de sinal, ou seja, onde ela é igual a zero.
    • Resolvendo :
    • Isso significa que em e , a expressão muda de positiva para negativa ou vice-versa.
  2. :
    • Essa expressão nunca é negativa porque é sempre maior ou igual a zero, e somando 1, sempre teremos um valor positivo.
    • Portanto, para todo .

Passo 3

Agora, vamos dividir a linha dos números em intervalos baseados nos pontos onde a expressão muda de sinal, ou seja, nos pontos e . Assim, temos três intervalos:
  1. Intervalo 1:
  2. Intervalo 2:
  3. Intervalo 3:

Passo 4

Vamos analisar a função em cada um desses intervalos, removendo os valores absolutos de acordo com o sinal das expressões.
  1. Para :
    • (porque é negativo ou zero, então )
    • Assim,
    • A função fica:
  2. Para :
    • (porque está entre 0 e 1, então domina)
    • Assim,
    • A função fica:
  3. Para :
    • (porque , então cresce mais rapidamente que )
    • Assim,
    • A função fica:

Passo 5

Agora que temos a função definida em cada intervalo, vamos entender como cada parte se comporta:
  1. Para e :
    • A função é quadrática:
    • Essa é uma parábola que abre para cima (porque o coeficiente de é positivo)
  2. Para :
    • A função é linear:
    • É uma reta com inclinação positiva

Passo 6

Vamos identificar alguns pontos chave para ajudar no desenho do gráfico:
  1. Em :
  2. Em :
  3. Ponto extra para o intervalo :
    • Por exemplo, em :

Passo 7

Com todas essas informações, podemos montar o gráfico:
  1. Para :
    • Desenhamos a parábola começando de para a esquerda.
  2. Para :
    • Desenhamos a reta que conecta os pontos e .
  3. Para :
    • Continuamos com a parábola a partir de para a direita.
Além disso, como a função é contínua, não há “saltos” no gráfico.

Resposta

O gráfico da função é composto por duas parábolas nos intervalos e , conectadas por uma reta no intervalo . A função é contínua e possui pontos de mudança de formato em e .

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Esboce o gráfico de .