Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o gráfico da função modular . Esse tipo de problema envolve entender como as expressões dentro dos valores absolutos se comportam e depois juntar tudo para desenhar o gráfico. Vamos precisar conhecer um pouco sobre funções absolutas e como quebrar a função em partes mais simples para facilitar o desenho.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as expressões dentro dos valores absolutos: e .
:
Vamos encontrar onde essa expressão muda de sinal, ou seja, onde ela é igual a zero.
Resolvendo :
Isso significa que em e , a expressão muda de positiva para negativa ou vice-versa.
:
Essa expressão nunca é negativa porque é sempre maior ou igual a zero, e somando 1, sempre teremos um valor positivo.
Portanto, para todo .
Passo 3
Agora, vamos dividir a linha dos números em intervalos baseados nos pontos onde a expressão muda de sinal, ou seja, nos pontos e . Assim, temos três intervalos:
Intervalo 1:
Intervalo 2:
Intervalo 3:
Passo 4
Vamos analisar a função em cada um desses intervalos, removendo os valores absolutos de acordo com o sinal das expressões.
Para :
(porque é negativo ou zero, então )
Assim,
A função fica:
Para :
(porque está entre 0 e 1, então domina)
Assim,
A função fica:
Para :
(porque , então cresce mais rapidamente que )
Assim,
A função fica:
Passo 5
Agora que temos a função definida em cada intervalo, vamos entender como cada parte se comporta:
Para e :
A função é quadrática:
Essa é uma parábola que abre para cima (porque o coeficiente de é positivo)
Para :
A função é linear:
É uma reta com inclinação positiva
Passo 6
Vamos identificar alguns pontos chave para ajudar no desenho do gráfico:
Em :
Em :
Ponto extra para o intervalo :
Por exemplo, em :
Passo 7
Com todas essas informações, podemos montar o gráfico:
Para :
Desenhamos a parábola começando de para a esquerda.
Para :
Desenhamos a reta que conecta os pontos e .
Para :
Continuamos com a parábola a partir de para a direita.
Além disso, como a função é contínua, não há “saltos” no gráfico.
Resposta
O gráfico da função é composto por duas parábolas nos intervalos e , conectadas por uma reta no intervalo . A função é contínua e possui pontos de mudança de formato em e .