Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
O domínio natural de f(x, y, z) = raiz(1 - x^2 - y^2) é o disco de raio 1 centrado na origem do plano x y.

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A questão pede para a gente verificar se o domínio natural da função é o disco de raio 1 centrado na origem do plano . Aqui, estamos lidando com funções de várias variáveis e domínios naturais. Para resolver, vamos precisar entender onde a função está definida, ou seja, para quais valores de e a expressão dentro da raiz quadrada é não negativa, já que não dá pra tirar a raiz de número negativo nos números reais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a expressão dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero para que a função seja real e definida. Então, temos:
Isso garante que a expressão dentro da raiz não seja negativa.

Passo 3

Agora, vamos arrumar a inequação para entender melhor o que significa:
Essa é a equação de um círculo no plano com raio 1 e centrado na origem. A inequação indica que estamos considerando todos os pontos dentro ou sobre esse círculo.

Passo 4

Então, o domínio natural da função é exatamente o conjunto de todos os pontos que satisfazem . Isso forma um disco de raio 1 no plano .

Resposta

Verdadeiro. O domínio natural de é realmente o disco de raio 1 centrado na origem do plano , pois para a função ser definida, a condição deve ser satisfeita.

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