Encontre os limites das funções racionais.
§ lim x -1 x^2+6 x+5x^2-3 x-4

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar o limite de uma função racional quando se aproxima de . As funções racionais são aquelas que podem ser escritas como o quociente de dois polinômios. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras de limites e como simplificar expressões algébricas.

Passo 2

Vamos começar substituindo (-1)^2 + 6(-1) + 5(-1)^2 - 3(-1) - 4 = 1 - 6 + 51 + 3 - 4 = 00 diretamente na função para ver se conseguimos achar o limite de forma direta:
Obtemos uma indeterminação , o que significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Para simplificar, vamos fatorar o numerador e o denominador da fração.
Numerador: x^2 + 6x + 5 = (x + 1)(x + 5)
Vamos encontrar dois números que multiplicados dão x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1) e somados dão . Esses números são e . Então, podemos escrever:
Denominador:
Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e . Assim, temos:

Passo 4

Agora, substituímos as expressões fatoradas na função original:
(x + 1)(x + 5)(x - 4)(x + 1)
Podemos simplificar a fração cancelando o termo x + 5x - 4 que está no numerador e no denominador:

Passo 5

Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo limx -1 x + 5x - 4 = -1 + 5-1 - 4 = 4-5 = -45 :

Resposta

lim x -1 x^2+6 x+5x^2-3 x-4 = -45

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