Encontre um valor para a constante , se possível, que faça a função ficar contínua em toda parte.
(a)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Queremos encontrar o valor da constante que faz essa função ser contínua em todos os pontos. Isso significa que não deve haver “saltos” na função, especialmente no ponto onde a definição muda, que é em . Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como igualar os limites da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
No nosso caso, queremos que a função seja contínua em .

Passo 3

Vamos calcular usando a primeira parte da função, já que :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):
O limite pela esquerda é 5.

Passo 5

Em seguida, calculamos o limite de quando se aproxima de 1 pela direita ( ):
O limite pela direita é .

Passo 6

Para que a função seja contínua em , os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais e também iguais a . Então, temos:

Resposta

O valor da constante que torna a função contínua é .

Exercícios relacionados

Encontre os limites das funções racionais.
§
Calcule em cada item a derivada de ordem superior indicada.
Calcule o limite justifican do cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.
(d)
Encontre o limite ou demonstre que ele nāo existe.
(e)