Encontre um valor para a constante
, se possível, que faça a função ficar contínua em toda parte.
(a)
(a)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Queremos encontrar o valor da constante
que faz essa função ser contínua em todos os pontos. Isso significa que não deve haver “saltos” na função, especialmente no ponto onde a definição muda, que é em
. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como igualar os limites da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
No nosso caso, queremos que a função
seja contínua em
.
Passo 3
Vamos calcular
usando a primeira parte da função, já que
:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
):
O limite pela esquerda é 5.
Passo 5
Em seguida, calculamos o limite de
quando
se aproxima de 1 pela direita (
):
O limite pela direita é
.
Passo 6
Para que a função seja contínua em
, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais e também iguais a
. Então, temos:
Resposta
O valor da constante
que torna a função contínua é
.
Exercícios relacionados
Encontre os limites das funções racionais.
§
§
Calcule em cada item a derivada de ordem superior indicada.
Calcule o limite justifican do cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.
(d)
(d)
Encontre o limite ou demonstre que ele nāo existe.
(e)
(e)