Encontre os limites das funções racionais.
(q) lim x -12^- 4 x^2+4 x+14 x^2-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para encontrar o limite da função racional quando se aproxima de pela esquerda. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente limites de funções racionais, e precisaríamos entender como analisar o comportamento do numerador e do denominador perto desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a função. Olha só, tanto o numerador quanto o denominador são polinômios quadráticos. Vamos ver se dá pra fatorar algum deles.

Passo 3

Fatorando o numerador 4x^2 + 4x + 1 = (2x + 1)^2 , percebemos que ele é um quadrado perfeito:

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador 4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1) . Isso é uma diferença de quadrados, que sempre pode ser fatorada assim:

Passo 5

Com as fatorações feitas, nossa função fica:
(2x + 1)^2(2x - 1)(2x + 1)
Agora, podemos cancelar um fator comum 2x + 12x - 1 no numerador e no denominador:

Passo 6

Agora que simplificamos a função para , vamos analisar o limite quando se aproxima de pela esquerda. Substituímos por valores próximos a na função simplificada.

Passo 7

Substituindo 2(-12) + 12(-12) - 1 = -1 + 1-1 - 1 = 0-2 = 0 na função simplificada:

Passo 8

Como não há indeterminação e a função é contínua nesse ponto, o limite é simplesmente o valor da função quando .

Resposta

O limite da função quando se aproxima de pela esquerda é .

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