Encontre os limites das funções racionais.
(t)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite de uma função racional. A gente tem que encontrar o limite quando
se aproxima de 1 para a função
. Funções racionais são aquelas que são formadas pela divisão de dois polinômios, e para resolver o limite delas, geralmente a gente tenta simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na função para ver se conseguimos encontrar o limite de forma simples. Substituindo:
A gente obteve uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a função para encontrar o limite.
Passo 3
Quando encontramos uma forma
, uma técnica comum é fatorar o numerador e o denominador para ver se temos fatores comuns que podemos cancelar. Vamos começar fatorando o numerador
e o denominador
.
Para fatorar o numerador, vamos tentar encontrar as raízes do polinômio. Testando
:
Então,
é um fator do numerador.
Dividindo o numerador por
usando a divisão polinomial ou o método de fatoração, obtemos:
Agora, fatoramos o denominador
. Testando novamente
:
Então,
também é um fator do denominador.
Dividindo o denominador por
, obtemos:
Passo 4
Agora que fatoramos tanto o numerador quanto o denominador, nossa expressão fica:
A gente pode cancelar o fator comum
, desde que
:
Passo 5
Agora, substituímos
nessa nova expressão:
Ainda temos uma forma indeterminada, então precisamos fatorar mais uma vez.
Fatorando
:
E fatorando
:
Agora, a expressão fica:
Mais uma vez, podemos cancelar
:
Resposta
Substituindo
nessa última expressão, temos:
Então, o limite é
.