Encontre os limites das funções racionais.
(t) lim x 1 x^3+x^2-5 x+3x^3-3 x+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite de uma função racional. A gente tem que encontrar o limite quando se aproxima de 1 para a função . Funções racionais são aquelas que são formadas pela divisão de dois polinômios, e para resolver o limite delas, geralmente a gente tenta simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 1^3 + 1^2 - 5 cdot 1 + 31^3 - 3 cdot 1 + 2 = 1 + 1 - 5 + 31 - 3 + 2 = 00 diretamente na função para ver se conseguimos encontrar o limite de forma simples. Substituindo:
A gente obteve uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a função para encontrar o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma 1^3 + 1^2 - 5 cdot 1 + 3 = 1 + 1 - 5 + 3 = 0 , uma técnica comum é fatorar o numerador e o denominador para ver se temos fatores comuns que podemos cancelar. Vamos começar fatorando o numerador x^3 + x^2 - 5x + 3 = (x - 1)(x^2 + 2x - 3) e o denominador 1^3 - 3 cdot 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 .
Para fatorar o numerador, vamos tentar encontrar as raízes do polinômio. Testando x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x^2 + x - 2) :
Então, é um fator do numerador.
Dividindo o numerador por usando a divisão polinomial ou o método de fatoração, obtemos:
Agora, fatoramos o denominador . Testando novamente :
Então, também é um fator do denominador.
Dividindo o denominador por , obtemos:

Passo 4

Agora que fatoramos tanto o numerador quanto o denominador, nossa expressão fica:
(x - 1)(x^2 + 2x - 3)(x - 1)(x^2 + x - 2)
A gente pode cancelar o fator comum x^2 + 2x - 3x^2 + x - 2 , desde que :

Passo 5

Agora, substituímos 1^2 + 2 cdot 1 - 31^2 + 1 - 2 = 1 + 2 - 31 + 1 - 2 = 00 nessa nova expressão:
x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)
Ainda temos uma forma indeterminada, então precisamos fatorar mais uma vez.
Fatorando x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) :
(x + 3)(x - 1)(x + 2)(x - 1)
E fatorando x + 3x + 2 :
Agora, a expressão fica:
Mais uma vez, podemos cancelar :

Resposta

Substituindo 1 + 31 + 2 = 43 nessa última expressão, temos:
Então, o limite é .

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