Encontre os limites das funções racionais.
(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite de uma função racional. A gente tem que encontrar o limite quando se aproxima de 1 para a função . Funções racionais são aquelas que são formadas pela divisão de dois polinômios, e para resolver o limite delas, geralmente a gente tenta simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na função para ver se conseguimos encontrar o limite de forma simples. Substituindo:
A gente obteve uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a função para encontrar o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma , uma técnica comum é fatorar o numerador e o denominador para ver se temos fatores comuns que podemos cancelar. Vamos começar fatorando o numerador e o denominador .
Para fatorar o numerador, vamos tentar encontrar as raízes do polinômio. Testando :
Então, é um fator do numerador.
Dividindo o numerador por usando a divisão polinomial ou o método de fatoração, obtemos:
Agora, fatoramos o denominador . Testando novamente :
Então, também é um fator do denominador.
Dividindo o denominador por , obtemos:

Passo 4

Agora que fatoramos tanto o numerador quanto o denominador, nossa expressão fica:
A gente pode cancelar o fator comum , desde que :

Passo 5

Agora, substituímos nessa nova expressão:
Ainda temos uma forma indeterminada, então precisamos fatorar mais uma vez.
Fatorando :
E fatorando :
Agora, a expressão fica:
Mais uma vez, podemos cancelar :

Resposta

Substituindo nessa última expressão, temos:
Então, o limite é .

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