Encontre os limites das funções com radicais.
(e) lim x 0 2 xraiz1+3 x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver um limite que envolve uma função com radical. O enunciado é:
lim x 0 2 xraiz1+3 x-1
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de limites e manipulação de expressões com radicais.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que acontece se substituirmos 2 times 0raiz1 + 3 times 0 - 1 = 01 - 1 = 00 diretamente na função.
A gente caiu numa indeterminação do tipo , que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Uma técnica comum para resolver esse tipo de limite é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de 2xraiz1+3x - 1 times raiz1+3x + 1raiz1+3x + 1 é . Então, fazemos:
Isso ajuda a eliminar o radical do denominador.

Passo 4

Agora, multiplicamos os termos:
2x (raiz1+3x + 1)(raiz1+3x)^2 - 1^2 = 2x (raiz1+3x + 1)1 + 3x - 1 = 2x (raiz1+3x + 1)3x
Perceba que e .

Passo 5

Simplificamos cancelando o 2 (raiz1+3x + 1)3 que está no numerador e no denominador:
Agora, a expressão está muito mais simples para calcular o limite.

Passo 6

Finalmente, substituímos 2 (raiz1 + 0 + 1)3 = 2 (1 + 1)3 = 43 na expressão simplificada:

Resposta

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