Encontre os limites das funções com radicais.
© lim x 32^+ raiz2 x+1-23-2 x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Queremos encontrar o limite da função quando se aproxima de pela direita ( ). Vamos precisar usar conceitos de limites e manipulação de expressões com radicais.

Passo 2

Vamos substituir raiz2 times 32 + 1 - 2 = raiz3 + 1 - 2 = raiz4 - 2 = 2 - 2 = 0 na função para ver o que acontece:
3 - 2 times 32 = 3 - 3 = 0
Obtemos uma forma indeterminada , então precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Para resolver essa indeterminação, vamos racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador:
raiz2x+1 - 23 - 2x times raiz2x+1 + 2raiz2x+1 + 2
O conjugado de é .

Passo 4

Agora, vamos multiplicar os numeradores e os denominadores:
(raiz2x+1 - 2)(raiz2x+1 + 2)(3 - 2x)(raiz2x+1 + 2)
No numerador, usamos a identidade (raiz2x+1)^2 - 2^2 = (2x + 1) - 4 = 2x - 3 :
2x - 3(3 - 2x)(raiz2x+1 + 2)
Então, a expressão fica:

Passo 5

Observamos que -(3 - 2x)(3 - 2x)(raiz2x+1 + 2) = -1raiz2x+1 + 2 pode ser escrito como . Substituindo isso na expressão:
Agora, a expressão ficou muito mais simples!

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite dessa nova expressão quando raiz2 times 32 + 1 + 2 = raiz3 + 1 + 2 = raiz4 + 2 = 2 + 2 = 4 :
-14 = -14
Portanto, o limite fica:

Resposta

O limite é .

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