Encontre os limites no infinito.
(m) lim x +infty raiz[3]2+3 x-x^21+8 x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o limite quando vai para mais infinito da expressão . Isso está relacionado ao estudo de limites no infinito, que faz parte do cálculo. Para resolver, vamos precisar saber como lidar com funções polinomiais e raízes em limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz cúbica. Olhando para o numerador e o denominador , percebemos que quando cresce muito, os termos de maior grau dominam. Então, vamos focar nos termos no numerador e no denominador.

Passo 3

Agora, reescrevemos a expressão destacando os termos de maior grau:
2 + 3x - x^21 + 8x^2 = -x^2 + 3x + 28x^2 + 1
Para facilitar, vamos dividir cada termo do numerador e do denominador por -x^2/x^2 + 3x/x^2 + 2/x^28x^2/x^2 + 1/x^2 = -1 + 3x + 2x^28 + 1x^2 :

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando limx to +infty 3x = 0 e limx to +infty 2x^2 = 0 tende a mais infinito. Sabemos que:
-1 + 0 + 08 + 0 = -18
assim, a expressão fica:

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão dentro da raiz cúbica e encontramos seu limite, vamos voltar à expressão original:
lim x +infty raiz[3]2+3x - x^21 + 8x^2 = raiz[3]-18
Sabemos que (-12)^3 = -18 , porque:

Resposta

lim x +infty raiz[3]2+3x - x^21 + 8x^2 = -12

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