Seja
Calcule os limites, caso existam, e .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida por partes, chamada , e queremos calcular os limites dela quando se aproxima de 0, 1 e 2. O conteúdo aqui é sobre limites de funções definidas por partes, e para resolver isso, vamos precisar olhar como a função se comporta à esquerda e à direita dos pontos de interesse.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Olhando a definição da função:
Para próximo de 0, os valores estão na faixa , então usamos .
O limite quando se aproxima de 0 é simplesmente:

Passo 3

Agora, vamos para . Aqui, 1 está dentro do intervalo , então novamente usamos .
Calculando o limite:

Passo 4

Por último, vamos calcular . Nesse caso, 2 é um ponto de transição na definição da função. Precisamos verificar os limites pela esquerda e pela direita.
  • Pela esquerda ( ): Estamos no intervalo , então .
  • Pela direita ( ): Agora, , então .
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais, o limite existe e é igual a 4.

Resposta

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