Seja
h(x)=l x^2-2, x<3 x^2, 0 <= x<2 2 x, x >= 2
Calcule os limites, caso existam, lim x 0 h(x), lim x 1 h(x) e lim x 2 h(x).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida por partes, chamada , e queremos calcular os limites dela quando se aproxima de 0, 1 e 2. O conteúdo aqui é sobre limites de funções definidas por partes, e para resolver isso, vamos precisar olhar como a função se comporta à esquerda e à direita dos pontos de interesse.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular h(x) = x^2 - 2, & x < 3 x^2, & 0 <= x < 2 2x, & x >= 2 . Olhando a definição da função:
limx 0 h(x) = limx 0 x^2 = 0^2 = 0
Para próximo de 0, os valores estão na faixa , então usamos .
O limite quando se aproxima de 0 é simplesmente:

Passo 3

Agora, vamos para limx 1 h(x) = limx 1 x^2 = 1^2 = 1 . Aqui, 1 está dentro do intervalo , então novamente usamos .
Calculando o limite:

Passo 4

Por último, vamos calcular limx 2^- h(x) = limx 2^- x^2 = 2^2 = 4 . Nesse caso, 2 é um ponto de transição na definição da função. Precisamos verificar os limites pela esquerda e pela direita.
  • Pela esquerda ( limx 2^+ h(x) = limx 2^+ 2x = 2 times 2 = 4 ): Estamos no intervalo , então .
  • Pela direita ( ): Agora, , então .
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais, o limite existe e é igual a 4.

Resposta

limx 0 h(x) = 0, limx 1 h(x) = 1, limx 2 h(x) = 4

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