Encontre valores das constantes k e m , se possível, que façam a função g ficar contínua em toda a reta real.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os valores das constantes e de forma que a função seja contínua em toda a reta real. Estamos lidando com funções por partes e continuidade, que são tópicos de cálculo. Para resolver isso, vamos garantir que não haja “quebras” na função nos pontos onde a definição muda, que são e .
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a continuidade em . Para a função ser contínua nesse ponto, o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao valor da função em 1, que também deve ser igual ao limite quando se aproxima de 1 pela direita.
A função para é .
Então, calculamos :
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela direita, onde a função é .
Calculamos :
Para que a função seja contínua em , temos:
Essa é a nossa primeira equação.
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade em . Novamente, o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao valor da função em 2, que também é igual ao limite quando se aproxima de 2 pela direita.
A função para é .
Calculamos
E
Para continuidade em :
Essa é a nossa segunda equação.
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Agora, substituímos na primeira equação:
Resposta
As constantes que tornam a função contínua em toda a reta real são e .