Encontre os limites no infinito. Utilize essa informação, bem como as intersecções com os eixos para fazer o esboço do gráfico da função y = 3x^3 - x^4

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar os limites da função quando vai para o infinito positivo e negativo. Além disso, vamos descobrir onde a função cruza os eixos e . Com essas informações, a gente consegue desenhar o gráfico da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os limites quando vai para e . Olhando para a função , o termo de maior grau é . Isso significa que, para valores muito grandes de , o comportamento da função vai ser dominado por esse termo.
  • Quando vai para :
    Isso porque cresce negativamente sem limites.
  • Quando vai para :
    Mesmo para negativos, ainda cresce negativamente sem limites, já que é positivo.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos de interseção com os eixos.
  • Interseção com o eixo :
    Para encontrar onde a função cruza o eixo , colocamos :
    Então, o ponto de interseção com o eixo é .
  • Interseção com o eixo :
    Para encontrar onde a função cruza o eixo , colocamos :
    As soluções são e . Então, os pontos de interseção com o eixo são e .

Passo 4

Com os limites e os pontos de interseção em mãos, dá para imaginar como o gráfico vai se comportar:
  • Quando vai para ou , vai para .
  • A função passa pelo ponto e cruza novamente o eixo em .
  • Como o coeficiente do termo de maior grau ( ) é negativo, o gráfico vai “afundar” nas duas extremidades.

Resposta

Os limites da função são:
Com os interceptos em e , podemos esboçar o gráfico da função baseado nesses comportamentos.

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