Explique por que a função é descontínua no número dado a. Esboce o gráfico da função:
f(x) = { e^(x) se x < 0, x^2 se x ≥ 0 }
a = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente explicar por que a função é descontínua em e também esboçar o gráfico dessa função. A função está dividida em duas partes: quando e quando . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade, calcular os limites laterais da função em e comparar com o valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem atendidas:
  1. está definido.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .

Passo 3

Vamos verificar essas condições para .
1. Valor da função em 0:
Como está na parte , usamos .
2. Limite quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
Aqui, usamos .
3. Limite quando se aproxima de 0 pela direita ( ):
Aqui, usamos .

Passo 4

Agora, vamos comparar os limites e o valor da função em 0:
  • O limite pela esquerda é 1.
  • O limite pela direita é 0.
  • O valor da função em 0 é 0.
Como os limites laterais não são iguais ( ), o limite geral de quando se aproxima de 0 não existe. Portanto, a função não satisfaz a condição de continuidade nesse ponto.

Passo 5

Agora, vamos esboçar o gráfico da função:
  • Para : A função é , que é uma exponencial crescente que se aproxima de 0 quando vai para e atinge 1 quando se aproxima de 0.
  • Para : A função é , uma parábola que começa em 0 e cresce para cima à medida que aumenta.
No ponto , temos um “salto” na função, já que de um lado a função chega a 1 e do outro a 0. Isso mostra a descontinuidade.

Resposta

A função é descontínua em porque os limites laterais são diferentes ( e ), fazendo com que o limite geral não exista e, portanto, a função não seja contínua nesse ponto.

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