Explique por que a função é descontínua no número dado a. Esboce o gráfico da função:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente explicar por que a função
é descontínua em
e também esboçar o gráfico dessa função. A função está dividida em duas partes:
quando
e
quando
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade, calcular os limites laterais da função em
e comparar com o valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se três condições forem atendidas:
-
está definido. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Passo 3
Vamos verificar essas condições para
.
1. Valor da função em 0:
Como está na parte
, usamos
.
Como
2. Limite quando
se aproxima de 0 pela esquerda (
):
Aqui, usamos .
Aqui, usamos
3. Limite quando
se aproxima de 0 pela direita (
):
Aqui, usamos .
Aqui, usamos
Passo 4
Agora, vamos comparar os limites e o valor da função em 0:
- O limite pela esquerda é 1.
- O limite pela direita é 0.
- O valor da função em 0 é 0.
Como os limites laterais não são iguais (
), o limite geral de
quando
se aproxima de 0 não existe. Portanto, a função não satisfaz a condição de continuidade nesse ponto.
Passo 5
Agora, vamos esboçar o gráfico da função:
-
Para
: A função é , que é uma exponencial crescente que se aproxima de 0 quando vai para e atinge 1 quando se aproxima de 0. -
Para
: A função é , uma parábola que começa em 0 e cresce para cima à medida que aumenta.
No ponto
, temos um “salto” na função, já que de um lado a função chega a 1 e do outro a 0. Isso mostra a descontinuidade.
Resposta
A função
é descontínua em
porque os limites laterais são diferentes (
e
), fazendo com que o limite geral não exista e, portanto, a função não seja contínua nesse ponto.
Exercícios relacionados
Seja
.
Esboce o gráfico de .
Esboce o gráfico de
Calcule as derivadas das funções abaixo:
Encontre os limites no infinito. Utilize essa informação, bem como as intersecções com os eixos para fazer o esboço do gráfico da função
Seja
.
Calcule cada limite, se existir
Calcule cada limite, se existir