Encontre os limites infinitos.
(g) lim x -2^+ 2 xx^3+8

Passo 1

Vamos resolver o limite infinito da função 2xx^3+8 quando x se aproxima de -2 pela direita. Isso envolve entender limites, comportamentos de funções próximas a certos pontos e a análise de sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando x se aproxima de -2 pela direita.
  • Numerador: 2x. Quando x -2^+, 2x 2 times (-2) = -4.
  • Denominador: x^3 + 8. Podemos fatorar isso usando a soma de cubos: x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4).

Passo 3

Agora, vamos ver o comportamento de cada fator no denominador quando x -2^+.
  • Fator (x + 2): Conforme x se aproxima de -2 pela direita, (x + 2) se aproxima de 0^+, ou seja, um número positivo muito pequeno.
  • Fator (x^2 - 2x + 4): Substituindo x = -2, temos (-2)^2 - 2(-2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12. Portanto, esse fator se aproxima de 12, um número positivo.

Passo 4

Com isso, o denominador x^3 + 8 se comporta como (0^+)(12) = 0^+. Ou seja, o denominador está se aproximando de zero positivo.

Passo 5

Agora, juntando tudo, a função 2xx^3 + 8 se comporta como -40^+. Dividir um número negativo por um número positivo muito pequeno que se aproxima de zero resulta em um valor que tende a -infty.

Resposta

lim x -2^+ 2 xx^3+8 = -infty

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