Use os limites laterais para estudar o comportamento da função na descontinuidade e determine as equações para as assíntotas verticais.
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Passo 1

Neste exercício, vamos analisar o comportamento da função em pontos onde ela pode ter descontinuidade. Para isso, usaremos limites laterais e, com base nisso, determinaremos as equações das assíntotas verticais. Vamos precisar entender conceitos de limites, descontinuidades e assíntotas verticais para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função pode não estar definida, ou seja, onde pode ocorrer uma descontinuidade. O logaritmo natural está definido apenas para . Portanto, o argumento deve ser positivo:
Isso significa que a função está definida apenas para valores de maiores que 1. Então, temos uma possível descontinuidade em .

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento da função quando se aproxima de 1, tanto pela esquerda quanto pela direita. Ou seja, vamos calcular os limites:

Passo 4

Primeiro, calculamos o limite pela esquerda ( ):
Quando se aproxima de 1 pela esquerda, , então . Como o logaritmo natural não está definido para números negativos, o limite não existe nesse caso. Isso indica que a função não está definida à esquerda de .

Passo 5

Em seguida, calculamos o limite pela direita ( ):
Quando se aproxima de 1 pela direita, , então se aproxima de 0 a partir de valores positivos. Sabemos que tende a quando tende a 0 pelo lado positivo. Portanto:

Resposta

A função possui uma assíntota vertical em .

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