Use os limites laterais para estudar o comportamento da função na descontinuidade e determine as equações para as assíntotas verticais.
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Passo 1
Neste exercício, vamos analisar o comportamento da função
em pontos onde ela pode ter descontinuidade. Para isso, usaremos limites laterais e, com base nisso, determinaremos as equações das assíntotas verticais. Vamos precisar entender conceitos de limites, descontinuidades e assíntotas verticais para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função
pode não estar definida, ou seja, onde pode ocorrer uma descontinuidade. O logaritmo natural
está definido apenas para
. Portanto, o argumento
deve ser positivo:
Isso significa que a função está definida apenas para valores de
maiores que 1. Então, temos uma possível descontinuidade em
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento da função quando
se aproxima de 1, tanto pela esquerda quanto pela direita. Ou seja, vamos calcular os limites:
Passo 4
Primeiro, calculamos o limite pela esquerda (
):
Quando
se aproxima de 1 pela esquerda,
, então
. Como o logaritmo natural não está definido para números negativos, o limite não existe nesse caso. Isso indica que a função não está definida à esquerda de
.
Passo 5
Em seguida, calculamos o limite pela direita (
):
Quando
se aproxima de 1 pela direita,
, então
se aproxima de 0 a partir de valores positivos. Sabemos que
tende a
quando
tende a 0 pelo lado positivo. Portanto:
Resposta
A função
possui uma assíntota vertical em
.
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