(a) Use o Teorema do Confronto para determinar
.
(b) Faça o gráfico de
. Quantas vezes o gráfico cruza a assíntota?
(b) Faça o gráfico de
Passo 1
Vamos resolver o exercício que tem duas partes. A primeira parte (a) pede para usar o Teorema do Confronto para encontrar o limite de
quando
tende ao infinito. A segunda parte (b) solicita que façamos o gráfico da função
e determinemos quantas vezes o gráfico cruza a assíntota. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o Teorema do Confronto e como analisar gráficos de funções trigonométricas.
Passo 2
Vamos começar pela parte (a). O Teorema do Confronto, também conhecido como Teorema do Aperto ou Squeeze Theorem, é usado para encontrar limites de funções que estão “confinadas” entre duas outras funções cujo limite é conhecido. Para usá-lo, precisamos encontrar duas funções que sejam menores e maiores que
e que tenham o mesmo limite quando
tende ao infinito.
Passo 3
Sabemos que para todo
, o valor de
está sempre entre
e
. Portanto, podemos escrever:
Dividindo todos os termos por
(considerando que
), temos:
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite das duas funções que aparecem nas desigualdades quando
tende ao infinito:
Como
e
ambos tendem a
, pelo Teorema do Confronto, podemos concluir que:
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b). Queremos fazer o gráfico de
e determinar quantas vezes ele cruza a assíntota. Primeiro, identificamos a assíntota da função. Como vimos na parte (a),
, então a assíntota horizontal é
.
Passo 6
Para saber quantas vezes o gráfico cruza a assíntota, precisamos encontrar os pontos onde
. Isso ocorre quando
. A função
é igual a zero para valores de
que são múltiplos inteiros de
, ou seja,
, onde
é um inteiro.
Passo 7
Como há infinitos múltiplos de
no conjunto dos números reais, o gráfico de
cruza a assíntota
infinitas vezes conforme
tende ao infinito.
Resposta
(a) O limite é
.
(b) O gráfico cruza a assíntota infinitas vezes.
(b) O gráfico cruza a assíntota infinitas vezes.