(a) Use o Teorema do Confronto para determinar lim x infty sen xx.
(b) Faça o gráfico de f(x)=(sen x) / x. Quantas vezes o gráfico cruza a assíntota?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que tem duas partes. A primeira parte (a) pede para usar o Teorema do Confronto para encontrar o limite de sen xx quando x tende ao infinito. A segunda parte (b) solicita que façamos o gráfico da função f(x) = sen xx e determinemos quantas vezes o gráfico cruza a assíntota. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o Teorema do Confronto e como analisar gráficos de funções trigonométricas.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a). O Teorema do Confronto, também conhecido como Teorema do Aperto ou Squeeze Theorem, é usado para encontrar limites de funções que estão “confinadas” entre duas outras funções cujo limite é conhecido. Para usá-lo, precisamos encontrar duas funções que sejam menores e maiores que sen xx e que tenham o mesmo limite quando x tende ao infinito.

Passo 3

Sabemos que para todo x, o valor de sen x está sempre entre -1 e 1. Portanto, podemos escrever:
-1 <= sen x <= 1
Dividindo todos os termos por x (considerando que x > 0), temos:
-1x <= sen xx <= 1x

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite das duas funções que aparecem nas desigualdades quando x tende ao infinito:
limx to infty -1x = 0 e limx to infty 1x = 0
Como -1x e 1x ambos tendem a 0, pelo Teorema do Confronto, podemos concluir que:
limx to infty sen xx = 0

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). Queremos fazer o gráfico de f(x) = sen xx e determinar quantas vezes ele cruza a assíntota. Primeiro, identificamos a assíntota da função. Como vimos na parte (a), limx to infty f(x) = 0, então a assíntota horizontal é y = 0.

Passo 6

Para saber quantas vezes o gráfico cruza a assíntota, precisamos encontrar os pontos onde f(x) = 0. Isso ocorre quando sen x = 0. A função sen x é igual a zero para valores de x que são múltiplos inteiros de pi, ou seja, x = npi, onde n é um inteiro.

Passo 7

Como há infinitos múltiplos de pi no conjunto dos números reais, o gráfico de f(x) = sen xx cruza a assíntota y = 0 infinitas vezes conforme x tende ao infinito.

Resposta

(a) O limite é 0.
(b) O gráfico cruza a assíntota infinitas vezes.

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