Encontre os limites quando x -> infinito e quando x -> -infinito. Use essa informação, bem como as intersecções com os eixos, para fazer um esboço do gráfico, como no Exemplo 12.
55. y = (3 - x)(1 + x)^(2)(1 - x)^(4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os limites da função quando vai para infinito positivo ( ) e para infinito negativo ( ). Além disso, precisamos achar as interseções com os eixos para desenhar o gráfico. Vamos precisar usar conhecimentos de limites e analisar o comportamento de funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite quando se aproxima de . Olhando para a função , vamos simplificar para ver qual o termo de maior grau que domina a função.
Expandindo os termos principais:
  • é basicamente quando é muito grande.
  • é aproximadamente .
  • é aproximadamente .
Multiplicando esses termos:
Então, o limite quando vai para é:
Isso significa que a função desce para menos infinito quando cresce muito.

Passo 3

Agora, vamos ver o limite quando se aproxima de .
Usando a mesma lógica:
  • quando é muito negativo vira aproximadamente .
  • ainda é , já que o quadrado sempre é positivo.
  • também é , já que a potência é par.
Multiplicando:
Neste caso, como é negativo e elevado a uma potência ímpar, o resultado também é negativo:
Então, a função também desce para menos infinito quando fica muito negativo.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as interseções com os eixos.
Interseção com o eixo y: ocorre quando .
Então, o ponto é .
Interseção com o eixo x: ocorre quando .
Isso acontece quando cada fator é zero:
Portanto, os pontos são , e .

Passo 5

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • A função tende a tanto para quanto para .
  • Passa pelo ponto no eixo y.
  • Intersecta o eixo x nos pontos , e .
Lembrando que a multiplicidade das raízes influencia no comportamento do gráfico:
  • tem multiplicidade 2 (par), então o gráfico toca o eixo e “rebobina”.
  • tem multiplicidade 4 (par), o mesmo comportamento.
  • tem multiplicidade 1 (ímpar), então o gráfico atravessa o eixo.

Resposta

Os limites são e . Com isso e as interseções encontradas, o gráfico da função desce para menos infinito em ambas as direções, passa pelo ponto , e cruza o eixo x em , e .

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