Encontre os limites quando
e quando
. Use essa informação, bem como as intersecções com os eixos, para fazer um esboço do gráfico, como no Exemplo 12.
55.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os limites da função
quando
vai para infinito positivo (
) e para infinito negativo (
). Além disso, precisamos achar as interseções com os eixos para desenhar o gráfico. Vamos precisar usar conhecimentos de limites e analisar o comportamento de funções polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite quando
se aproxima de
. Olhando para a função
, vamos simplificar para ver qual o termo de maior grau que domina a função.
Expandindo os termos principais:
-
é basicamente quando é muito grande. -
é aproximadamente . -
é aproximadamente .
Multiplicando esses termos:
Então, o limite quando
vai para
é:
Isso significa que a função desce para menos infinito quando
cresce muito.
Passo 3
Agora, vamos ver o limite quando
se aproxima de
.
Usando a mesma lógica:
-
quando é muito negativo vira aproximadamente . -
ainda é , já que o quadrado sempre é positivo. -
também é , já que a potência é par.
Multiplicando:
Neste caso, como
é negativo e elevado a uma potência ímpar, o resultado também é negativo:
Então, a função também desce para menos infinito quando
fica muito negativo.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as interseções com os eixos.
Interseção com o eixo y: ocorre quando
.
Então, o ponto é
.
Interseção com o eixo x: ocorre quando
.
Isso acontece quando cada fator é zero:
Portanto, os pontos são
,
e
.
Passo 5
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- A função tende a
tanto para quanto para . - Passa pelo ponto
no eixo y. - Intersecta o eixo x nos pontos
, e .
Lembrando que a multiplicidade das raízes influencia no comportamento do gráfico:
-
tem multiplicidade 2 (par), então o gráfico toca o eixo e “rebobina”. -
tem multiplicidade 4 (par), o mesmo comportamento. -
tem multiplicidade 1 (ímpar), então o gráfico atravessa o eixo.
Resposta
Os limites são
e
. Com isso e as interseções encontradas, o gráfico da função
desce para menos infinito em ambas as direções, passa pelo ponto
, e cruza o eixo x em
,
e
.