Encontre os limites quando
e quando
. Use essa informação, bem como as intersecções com os eixos, para fazer um esboço do gráfico, como no Exemplo 12.
54.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os limites da função
quando
vai para mais infinito (
) e para menos infinito (
). Além disso, a gente precisa descobrir onde a função corta os eixos, ou seja, onde
e onde
. Essas informações vão ajudar a gente a desenhar um esboço do gráfico da função. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites de funções polinomiais e como identificar as interseções com os eixos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite da função quando
tende para
. Olhando a função
, podemos simplificar os termos de maior grau:
Multiplicando os termos de maior grau, temos:
Então, o comportamento da função para
é dominado por
, que tende a
.
Passo 3
Agora, vamos ver o limite quando
tende para
. Continuando com a mesma função:
Novamente, focando nos termos de maior grau:
Mesmo para
,
ainda tende a
porque qualquer potência par de um número negativo resulta em positivo.
Passo 4
Vamos encontrar as interseções com os eixos. Primeiro, as interseções com o eixo
acontecem quando
:
Então, a função corta o eixo
no ponto
.
Agora, para encontrar as interseções com o eixo
, resolvemos
:
Isso acontece quando:
Então, a função corta o eixo
nos pontos
,
e
.
Passo 5
Com todas essas informações, podemos fazer um esboço do gráfico:
- Para
e , . Isso significa que as duas “pontas” do gráfico vão para cima. - A função cruza o eixo
no ponto . - Ela também cruza o eixo
nos pontos e .
Com isso, podemos desenhar uma curva que passa por esses pontos e se comporta conforme os limites que calculamos.
Resposta
Os limites da função
são ambos
quando
tende a
e
. Além disso, a função intercepta o eixo
no ponto
e o eixo
nos pontos
e
. Com essas informações, é possível esboçar o gráfico da função, sabendo que as extremidades do gráfico irão para cima.