Encontre os limites quando x -> infinito e quando x -> -infinito. Use essa informação, bem como as intersecções com os eixos, para fazer um esboço do gráfico, como no Exemplo 12.
54. y = x^3 * (x + 2)^2 * (x - 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os limites da função quando vai para mais infinito ( ) e para menos infinito ( ). Além disso, a gente precisa descobrir onde a função corta os eixos, ou seja, onde e onde . Essas informações vão ajudar a gente a desenhar um esboço do gráfico da função. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites de funções polinomiais e como identificar as interseções com os eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da função quando tende para . Olhando a função , podemos simplificar os termos de maior grau:
Multiplicando os termos de maior grau, temos:
Então, o comportamento da função para é dominado por , que tende a .

Passo 3

Agora, vamos ver o limite quando tende para . Continuando com a mesma função:
Novamente, focando nos termos de maior grau:
Mesmo para , ainda tende a porque qualquer potência par de um número negativo resulta em positivo.

Passo 4

Vamos encontrar as interseções com os eixos. Primeiro, as interseções com o eixo acontecem quando :
Então, a função corta o eixo no ponto .
Agora, para encontrar as interseções com o eixo , resolvemos :
Isso acontece quando:
Então, a função corta o eixo nos pontos , e .

Passo 5

Com todas essas informações, podemos fazer um esboço do gráfico:
  • Para e , . Isso significa que as duas “pontas” do gráfico vão para cima.
  • A função cruza o eixo no ponto .
  • Ela também cruza o eixo nos pontos e .
Com isso, podemos desenhar uma curva que passa por esses pontos e se comporta conforme os limites que calculamos.

Resposta

Os limites da função são ambos quando tende a e . Além disso, a função intercepta o eixo no ponto e o eixo nos pontos e . Com essas informações, é possível esboçar o gráfico da função, sabendo que as extremidades do gráfico irão para cima.

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