Para a função
, cujo gráfico é dado, determine o que se pede.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) As equações das assíntotas
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) As equações das assíntotas
Passo 1
Beleza, então temos um exercício sobre limites de funções e assíntotas. A gente vai trabalhar com a função
, e o que a gente precisa é analisar o comportamento dela em diferentes pontos e em direções específicas. Para isso, vamos olhar o gráfico de
e aplicar alguns conceitos de limites e assíntotas que a gente aprendeu.
Passo 2
(a)
Primeiro, vamos ver o que acontece com
quando
vai para o infinito positivo. Olhando o gráfico, precisamos observar se a função se aproxima de algum valor constante ou se continua aumentando ou diminuindo sem parar. Se a função se estabiliza em uma linha horizontal, essa é a nossa assíntota horizontal e o limite será o valor dessa linha.
(b)
Agora, vamos analisar o que acontece quando
vai para o infinito negativo. Da mesma forma que no caso anterior, observamos o comportamento da função nessa direção. Se existir uma assíntota horizontal diferente ou se a função se comporta de maneira similar à direção positiva, o limite será o valor da assíntota ou o comportamento observado.
©
Aqui, a gente quer saber o que acontece com
quando
se aproxima de 3. Olhamos o gráfico perto de
e verificamos se a função tem algum ponto de descontinuidade, como um buraco ou uma assíntota vertical. Se a função se aproxima de um valor específico de ambos os lados, esse será o limite.
(d)
Esse limite nos pede para ver o comportamento de
quando
está perto de 0. Olhamos o gráfico próximo a
e verificamos se a função se aproxima de algum valor ou se tem algum tipo de descontinuidade. Se não houver nada estranho, o limite será o valor que a função atinge quando
chega a 0.
(e)
Esse é um limite lateral, ou seja, estamos vendo o que acontece com
quando
se aproxima de -2 vindo pela direita (valores maiores que -2). No gráfico, olhamos apenas o lado direito de
e vemos se a função está indo para algum valor específico ou para infinito.
(f) As equações das assíntotas
Por último, vamos identificar as assíntotas da função
:
-
Assíntotas Horizontais: São as linhas que a função se aproxima quando
vai para ou . Se , então é uma assíntota horizontal. -
Assíntotas Verticais: Ocorrem em valores de
onde a função tende a ou . Se ou , então é uma assíntota vertical. -
Assíntotas Oblíquas: Se a função não tem assíntotas horizontais, mas a diferença entre
e uma linha reta tende a 0 quando vai para ou , então essa linha é uma assíntota oblíqua.
Resposta
Seguindo os passos acima e analisando o gráfico da função
, conseguimos determinar:
a)
(onde
é o valor da assíntota horizontal, se existir).
b)
(onde
é o valor da assíntota horizontal, se existir).
c)
(onde
é o valor que a função se aproxima quando
chega a 3).
d)
(onde
é o valor que a função atinge em
).
e)
(onde
é o valor que a função se aproxima vindo da direita de
).
f) As equações das assíntotas são:
- Assíntota Horizontal:
e/ou . - Assíntota Vertical:
(onde a função tende a infinito). - Assíntota Oblíqua:
(se existir).
Obs: Os valores
e as equações das assíntotas dependem do gráfico específico da função
.