Para a função g, cujo gráfico é dado, determine o que se pede.
(a) lim x infty g(x)
(b) lim x -infty g(x)
© lim x 3 g(x)
(d) lim x 0 g(x)
(e) lim x -2^+ g(x)
(f) As equações das assíntotas

Passo 1

Beleza, então temos um exercício sobre limites de funções e assíntotas. A gente vai trabalhar com a função , e o que a gente precisa é analisar o comportamento dela em diferentes pontos e em direções específicas. Para isso, vamos olhar o gráfico de e aplicar alguns conceitos de limites e assíntotas que a gente aprendeu.

Passo 2

(a)

Primeiro, vamos ver o que acontece com quando vai para o infinito positivo. Olhando o gráfico, precisamos observar se a função se aproxima de algum valor constante ou se continua aumentando ou diminuindo sem parar. Se a função se estabiliza em uma linha horizontal, essa é a nossa assíntota horizontal e o limite será o valor dessa linha.

(b)

Agora, vamos analisar o que acontece quando vai para o infinito negativo. Da mesma forma que no caso anterior, observamos o comportamento da função nessa direção. Se existir uma assíntota horizontal diferente ou se a função se comporta de maneira similar à direção positiva, o limite será o valor da assíntota ou o comportamento observado.

©

Aqui, a gente quer saber o que acontece com quando se aproxima de 3. Olhamos o gráfico perto de e verificamos se a função tem algum ponto de descontinuidade, como um buraco ou uma assíntota vertical. Se a função se aproxima de um valor específico de ambos os lados, esse será o limite.

(d)

Esse limite nos pede para ver o comportamento de quando está perto de 0. Olhamos o gráfico próximo a e verificamos se a função se aproxima de algum valor ou se tem algum tipo de descontinuidade. Se não houver nada estranho, o limite será o valor que a função atinge quando chega a 0.

(e)

Esse é um limite lateral, ou seja, estamos vendo o que acontece com quando se aproxima de -2 vindo pela direita (valores maiores que -2). No gráfico, olhamos apenas o lado direito de e vemos se a função está indo para algum valor específico ou para infinito.

(f) As equações das assíntotas

Por último, vamos identificar as assíntotas da função :
  • Assíntotas Horizontais: São as linhas que a função se aproxima quando vai para ou . Se , então é uma assíntota horizontal.
  • Assíntotas Verticais: Ocorrem em valores de onde a função tende a ou . Se ou , então é uma assíntota vertical.
  • Assíntotas Oblíquas: Se a função não tem assíntotas horizontais, mas a diferença entre e uma linha reta tende a 0 quando vai para ou , então essa linha é uma assíntota oblíqua.

Resposta

Seguindo os passos acima e analisando o gráfico da função , conseguimos determinar:
a) (onde é o valor da assíntota horizontal, se existir).
b) (onde é o valor da assíntota horizontal, se existir).
c) (onde é o valor que a função se aproxima quando chega a 3).
d) (onde é o valor que a função atinge em ).
e) (onde é o valor que a função se aproxima vindo da direita de ).
f) As equações das assíntotas são:
  • Assíntota Horizontal: e/ou .
  • Assíntota Vertical: (onde a função tende a infinito).
  • Assíntota Oblíqua: (se existir).
Obs: Os valores e as equações das assíntotas dependem do gráfico específico da função .

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