Use a Definição 9 para demonstrar que lim x infty e^x=infty.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é usar a Definição 9 para mostrar que o limite de quando tende ao infinito é infinito. Isso está dentro do estudo de Cálculo de Limites, especificamente lidando com limites no infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a definição formal de limite no infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa dizermos que usando a definição formal. A definição nos diz que para todo número real , por maior que seja, existe um número real tal que para todo , . Ou seja, podemos tornar tão grande quanto quisermos escolhendo suficientemente grande.

Passo 3

Vamos então aplicar essa definição. Queremos mostrar que, dado qualquer , podemos achar um tal que se , então .

Passo 4

Para encontrar esse ln(e^x) > ln(M) , vamos resolver a inequação x > ln(M) . Tomando o logaritmo natural dos dois lados, temos:
Como , a inequação fica:

Passo 5

Isso significa que se escolhemos , então para todo , teremos . Portanto, independentemente de quão grande seja, sempre conseguimos encontrar um correspondente.

Resposta

Assim, usando a Definição 9, demonstramos que .

Exercícios relacionados