Use a Definição 9 para demonstrar que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é usar a Definição 9 para mostrar que o limite de
quando
tende ao infinito é infinito. Isso está dentro do estudo de Cálculo de Limites, especificamente lidando com limites no infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a definição formal de limite no infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa dizermos que
usando a definição formal. A definição nos diz que para todo número real
, por maior que seja, existe um número real
tal que para todo
,
. Ou seja, podemos tornar
tão grande quanto quisermos escolhendo
suficientemente grande.
Passo 3
Vamos então aplicar essa definição. Queremos mostrar que, dado qualquer
, podemos achar um
tal que se
, então
.
Passo 4
Para encontrar esse
, vamos resolver a inequação
. Tomando o logaritmo natural dos dois lados, temos:
Como
, a inequação fica:
Passo 5
Isso significa que se escolhemos
, então para todo
, teremos
. Portanto, independentemente de quão grande
seja, sempre conseguimos encontrar um
correspondente.
Resposta
Assim, usando a Definição 9, demonstramos que
.