Faça um esboço da curva y=x^n ( n inteiro) nos seguintes casos:
(i) n=0
(ii) n>0, n ímpar
(iii) n>0, n par
(iv) n<0, n ímpar
(v) n<0, n par
Então, use esses esboços para encontrar os seguintes limites:
(a) lim x 0^+ x^n
(b) lim x 0^- x^n
© lim x infty x^n
(d) lim x -infty x^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é dois: primeiro, desenhar o gráfico da função para diferentes valores de . Depois, usar esses gráficos para calcular alguns limites específicos dessa função. Vamos precisar entender como diferentes potências de afetam o formato do gráfico e como isso influencia os limites quando se aproxima de 0 ou do infinito.

Passo 2

Vamos começar pelo primeiro caso: y = x^0 . Quando y = 1 é zero, a função fica assim:
Qualquer número elevado a zero é 1, então a função se simplifica para:
Isso significa que o gráfico é uma linha horizontal que atravessa o eixo no ponto 1.

Passo 3

Agora, o segundo caso: y = x^3 e é ímpar. Por exemplo, vamos escolher . A função fica:
Funções com expoente ímpar têm algumas características importantes:
  • A função atravessa a origem (0,0).
  • Quando vai para , também vai para .
  • Quando vai para , vai para .
O gr��fico tem uma forma de “S” que passa pela origem, subindo para a direita e descendo para a esquerda.

Passo 4

O terceiro caso: y = x^2 e é par. Vamos usar . A função fica:
Funções com expoente par têm características diferentes:
  • A função é sempre positiva ou zero.
  • O gráfico é uma parábola que abre para cima.
  • Ela não atravessa o eixo , exceto na origem.
Então, o gráfico tem a forma de uma “U” simétrica em relação ao eixo .

Passo 5

Quarto caso: y = x^-1 = 1x e é ímpar. Vamos escolher . A função fica:
Funções com expoente negativo e ímpar têm as seguintes características:
  • Elas têm duas partes: uma no primeiro quadrante e outra no terceiro quadrante.
  • Quando se aproxima de 0 pela direita, vai para .
  • Quando se aproxima de 0 pela esquerda, vai para .
O gráfico se aproxima dos eixos, mas nunca os toca.

Passo 6

Quinto caso: y = x^-2 = 1x^2 e é par. Vamos usar . A função fica:
Aqui, as características são:
  • A função é sempre positiva.
  • Tem duas partes: uma no primeiro quadrante e outra no segundo quadrante.
  • Quando se aproxima de 0, vai para .
  • Não cruza o eixo , apenas se aproxima.
O gráfico se parece com uma parábola voltada para cima, mas com os ramos nos quadrantes opostos.

Passo 7

Agora que já temos os esboços dos gráficos, vamos calcular os limites solicitados.
(a)
  • Se : O limite será 0, porque pequeno elevado a positivo se aproxima de 0.
  • Se : O limite será se for par, e ou dependendo do sinal se for ímpar.
(b)
  • Se :
    • par: Limite é 0.
    • ímpar: Limite é 0.
  • Se :
    • par: Limite é .
    • ímpar: Limite é .
©
  • Se :
    • Positivo: .
  • Se :
    • se , mas como , o limite será 0.
(d)
  • Se é par:
    • será positivo, então o limite é .
  • Se é ímpar:
    • seguirá o sinal de , então o limite é .

Resposta

A resposta final depende de cada limite, mas seguindo os casos analisados:
(a) é:
  • 0 se
  • se
(b) é:
  • 0 se
  • se e é par
  • se e é ímpar
© é:
  • se
  • 0 se
(d) é:
  • se é par
  • se é ímpar

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