Faça um esboço da curva
(
inteiro) nos seguintes casos:
(i)
(ii)
ímpar
(iii)
par
(iv)
ímpar
(v)
par
Então, use esses esboços para encontrar os seguintes limites:
(a)
(b)
©
(d)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
Então, use esses esboços para encontrar os seguintes limites:
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é dois: primeiro, desenhar o gráfico da função
para diferentes valores de
. Depois, usar esses gráficos para calcular alguns limites específicos dessa função. Vamos precisar entender como diferentes potências de
afetam o formato do gráfico e como isso influencia os limites quando
se aproxima de 0 ou do infinito.
Passo 2
Vamos começar pelo primeiro caso:
. Quando
é zero, a função fica assim:
Qualquer número elevado a zero é 1, então a função se simplifica para:
Isso significa que o gráfico é uma linha horizontal que atravessa o eixo
no ponto 1.
Passo 3
Agora, o segundo caso:
e
é ímpar. Por exemplo, vamos escolher
. A função fica:
Funções com expoente ímpar têm algumas características importantes:
- A função atravessa a origem (0,0).
- Quando
vai para , também vai para . - Quando
vai para , vai para .
O gr��fico tem uma forma de “S” que passa pela origem, subindo para a direita e descendo para a esquerda.
Passo 4
O terceiro caso:
e
é par. Vamos usar
. A função fica:
Funções com expoente par têm características diferentes:
- A função é sempre positiva ou zero.
- O gráfico é uma parábola que abre para cima.
- Ela não atravessa o eixo
, exceto na origem.
Então, o gráfico tem a forma de uma “U” simétrica em relação ao eixo
.
Passo 5
Quarto caso:
e
é ímpar. Vamos escolher
. A função fica:
Funções com expoente negativo e ímpar têm as seguintes características:
- Elas têm duas partes: uma no primeiro quadrante e outra no terceiro quadrante.
- Quando
se aproxima de 0 pela direita, vai para . - Quando
se aproxima de 0 pela esquerda, vai para .
O gráfico se aproxima dos eixos, mas nunca os toca.
Passo 6
Quinto caso:
e
é par. Vamos usar
. A função fica:
Aqui, as características são:
- A função é sempre positiva.
- Tem duas partes: uma no primeiro quadrante e outra no segundo quadrante.
- Quando
se aproxima de 0, vai para . - Não cruza o eixo
, apenas se aproxima.
O gráfico se parece com uma parábola voltada para cima, mas com os ramos nos quadrantes opostos.
Passo 7
Agora que já temos os esboços dos gráficos, vamos calcular os limites solicitados.
(a)
- Se
: O limite será 0, porque pequeno elevado a positivo se aproxima de 0. - Se
: O limite será se for par, e ou dependendo do sinal se for ímpar.
(b)
- Se
: -
par: Limite é 0. -
ímpar: Limite é 0.
-
- Se
: -
par: Limite é . -
ímpar: Limite é .
-
©
- Se
: - Positivo:
.
- Positivo:
- Se
: -
se , mas como , o limite será 0.
-
(d)
- Se
é par: -
será positivo, então o limite é .
-
- Se
é ímpar: -
seguirá o sinal de , então o limite é .
-
Resposta
A resposta final depende de cada limite, mas seguindo os casos analisados:
(a)
é:
- 0 se
-
se
(b)
é:
- 0 se
-
se e é par -
se e é ímpar
©
é:
-
se - 0 se
(d)
é:
-
se é par -
se é ímpar