Usando polinômios interpoladores de Newton (segunda e terceira ordem), estime o valor
, para os seguintes valores:
e
Passo 1
Neste exercício, queremos estimar o valor da função de erro
para os valores
,
e
, utilizando polinômios interpoladores de Newton de segunda e terceira ordem. Vamos usar a interpolação polinomial, uma técnica da matemática que nos permite aproximar o valor de uma função em pontos específicos com base em valores conhecidos.
Passo 2
Primeiramente, precisamos entender o que são polinômios interpoladores de Newton. Esses polinômios são construídos de forma que passam exatamente por um conjunto de pontos dados. A ideia é utilizar esses polinômios para estimar valores intermediários da função. Para isso, vamos precisar de um conjunto de pontos conhecidos da função
.
Passo 3
Vamos supor que temos uma tabela com alguns valores de
e seus correspondentes
. Por exemplo:
Esses pontos serão utilizados para construir os polinômios de Newton.
Passo 4
Agora, vamos calcular as diferenças divididas necessárias para construir o polinômio interpolador. As diferenças divididas são uma forma de calcular os coeficientes do polinômio sem precisar resolver um sistema complexo de equações. Para polinômios de segunda ordem, precisaremos de três pontos, e para a terceira ordem, quatro pontos.
Passo 5
Vamos construir o polinômio de Newton de segunda ordem usando os pontos
,
e
. Calculamos as diferenças divididas:
Passo 6
Com as diferenças divididas calculadas, o polinômio de Newton de segunda ordem fica:
Substituindo os valores:
Passo 7
Agora, construímos o polinômio de Newton de terceira ordem usando os pontos
,
,
e
. Calculamos as diferenças divididas adicionais:
Passo 8
O polinômio de Newton de terceira ordem fica:
Substituindo os valores:
Passo 9
Com os polinômios de segunda e terceira ordem construídos, agora podemos estimar os valores de
para
,
e
substituindo esses valores nas expressões dos polinômios.
Resposta
Após substituir os valores de
,
e
nos polinômios de Newton de segunda e terceira ordem, obtemos as seguintes estimativas para a função de erro
:
-
Para
: - Interpolação de segunda ordem:
- Interpolação de terceira ordem:
- Interpolação de segunda ordem:
-
Para
: - Interpolação de segunda ordem:
- Interpolação de terceira ordem:
- Interpolação de segunda ordem:
-
Para
: - Interpolação de segunda ordem:
- Interpolação de terceira ordem:
- Interpolação de segunda ordem:
Obs.: Para obter os valores numéricos finais, basta substituir os valores de
nas expressões de
e
desenvolvidas anteriormente.