Encontre os limites

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o limite da função quando as variáveis , e se aproximam de , e respectivamente. Esse tipo de problema faz parte do estudo de limites multivariados, onde analisamos o comportamento de funções com mais de uma variável. Para resolver, vamos usar propriedades básicas de limites e a ideia de que o limite de um produto é o produto dos limites, se eles existirem.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função em partes que dependem de cada variável. Nossa função é . Podemos ver que ela é o produto de três funções:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de cada parte individualmente.
  1. Limite de quando se aproxima de 3:
    Isso é direto, pois a função é contínua.
  2. Limite de quando se aproxima de 0:
    Aqui usamos a propriedade de que .
  3. Limite de quando se aproxima de :
    Sabemos que .

Passo 4

Agora que temos os limites individuais, vamos multiplicá-los para encontrar o limite da função inicial:

Resposta

O limite da função quando se aproxima de , de e de é 3.

Exercícios relacionados

Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. é o limite da região entre os círculos e .
Esboçar o gráfico:
Esboce os pontos em coordenadas polares:
Esboce a curva em coordenadas polares: