Encontre os limites lim substackx pi y 0 z 3 z e^-3 y cos (2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o limite da função quando as variáveis , e se aproximam de , e respectivamente. Esse tipo de problema faz parte do estudo de limites multivariados, onde analisamos o comportamento de funções com mais de uma variável. Para resolver, vamos usar propriedades básicas de limites e a ideia de que o limite de um produto é o produto dos limites, se eles existirem.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função em partes que dependem de cada variável. Nossa função é . Podemos ver que ela é o produto de três funções:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de cada parte individualmente.
  1. Limite de limz to 3 z = 3 quando limy to 0 e^-3 y = e^0 = 1 se aproxima de 3:
    limx to pi cos (2 x) = cos (2 pi) = 1
    Isso é direto, pois a função é contínua.
  2. Limite de quando se aproxima de 0:
    Aqui usamos a propriedade de que .
  3. Limite de quando se aproxima de :
    Sabemos que .

Passo 4

Agora que temos os limites individuais, vamos multiplicá-los para encontrar o limite da função inicial:
limsubstackx to pi y to 0 z to 3 z e^-3 y cos (2 x) = 3 times 1 times 1 = 3

Resposta

O limite da função quando se aproxima de , de e de é 3.

Exercícios relacionados