Encontre os limites
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o limite da função
quando as variáveis
,
e
se aproximam de
,
e
respectivamente. Esse tipo de problema faz parte do estudo de limites multivariados, onde analisamos o comportamento de funções com mais de uma variável. Para resolver, vamos usar propriedades básicas de limites e a ideia de que o limite de um produto é o produto dos limites, se eles existirem.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a função em partes que dependem de cada variável. Nossa função é
. Podemos ver que ela é o produto de três funções:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de cada parte individualmente.
-
Limite de
quando se aproxima de 3: Isso é direto, pois a funçãoé contínua. -
Limite de
quando se aproxima de 0: Aqui usamos a propriedade de que. -
Limite de
quando se aproxima de : Sabemos que.
Passo 4
Agora que temos os limites individuais, vamos multiplicá-los para encontrar o limite da função inicial:
Resposta
O limite da função
quando
se aproxima de
,
de
e
de
é 3.
Exercícios relacionados
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
é o limite da região entre os círculos
e
.
Esboçar o gráfico:
Esboce os pontos em coordenadas polares:
Esboce a curva em coordenadas polares: