Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. integralC(1-y^3) d x+(x^3+e^y^2) d y, C é o limite da região entre os círculos x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green. O exercício pede para calcular a integral integralC(1-y^3) dx+(x^3+e^y^2) dy, onde C é a fronteira entre os círculos x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9. Vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo a essa região.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele transforma uma integral de linha ao redor de uma curva fechada C em uma integral dupla sobre a região D que está dentro de C. A fórmula é:
ointC P dx + Q dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Aqui, P = 1 - y^3 e Q = x^3 + e^y^2.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (x^3 + e^y^2) = 3x^2
partial Ppartial y = partialpartial y (1 - y^3) = -3y^2

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 3x^2 - (-3y^2) = 3x^2 + 3y^2 = 3(x^2 + y^2)

Passo 5

A região D é o anel entre os círculos com raios 2 e 3. Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde x = r costheta e y = r sintheta. Lembre-se que x^2 + y^2 = r^2 e o elemento de área em coordenadas polares é dA = r dr dtheta.

Passo 6

Substituindo na integral dupla:
integral duplaD 3(x^2 + y^2) dA = integral duplaD 3r^2 cdot r dr dtheta = 3 integral duplaD r^3 dr dtheta
Os limites para r vão de 2 a 3 e para theta de 0 a 2pi.

Passo 7

Agora, calculamos a integral:
3 integral0^2pi integral2^3 r^3 dr dtheta
Primeiro, integraremos em relação a r:
integral2^3 r^3 dr = [ r^44 ]2^3 = 814 - 164 = 654

Passo 8

Substituindo de volta:
3 integral0^2pi 654 dtheta = 1954 integral0^2pi dtheta = 1954 cdot 2pi = 1952 pi

Resposta

A integral de linha é igual a 1952 pi.

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