Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. é o limite da região entre os círculos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green. O exercício pede para calcular a integral , onde é a fronteira entre os círculos e . Vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo a essa região.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele transforma uma integral de linha ao redor de uma curva fechada em uma integral dupla sobre a região que está dentro de . A fórmula é:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na expressão do Teorema de Green:

Passo 5

A região é o anel entre os círculos com raios 2 e 3. Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde e . Lembre-se que e o elemento de área em coordenadas polares é .

Passo 6

Substituindo na integral dupla:
Os limites para vão de 2 a 3 e para de 0 a .

Passo 7

Agora, calculamos a integral:
Primeiro, integraremos em relação a :

Passo 8

Substituindo de volta:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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Encontre os limites
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