Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
é o limite da região entre os círculos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green. O exercício pede para calcular a integral
, onde
é a fronteira entre os círculos
e
. Vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo a essa região.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele transforma uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
em uma integral dupla sobre a região
que está dentro de
. A fórmula é:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Passo 5
A região
é o anel entre os círculos com raios 2 e 3. Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. Lembre-se que
e o elemento de área em coordenadas polares é
.
Passo 6
Substituindo na integral dupla:
Os limites para
vão de 2 a 3 e para
de 0 a
.
Passo 7
Agora, calculamos a integral:
Primeiro, integraremos em relação a
:
Passo 8
Substituindo de volta:
Resposta
A integral de linha é igual a
.
Exercícios relacionados
Esboçar o gráfico:
Seja a função dada por
. Determinar: a representação gráfica do
.
Encontre os limites
Esboce os pontos em coordenadas polares: