Encontre os limites.

Passo 1

Vamos lá! Você nos pediu para encontrar o limite de uma função quando tende ao infinito. Especificamente, temos:
Aqui, estamos lidando com limites em funções racionais dentro de uma raiz quadrada. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar os termos de maior grau no numerador e denominador e como simplificar expressões que envolvem raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz:
Quando tende ao infinito, os termos de maior grau (aqueles com ) dominam a expressão. Isso significa que os termos constantes e de primeiro grau (como 2 e 3x) se tornam insignificantes em comparação com os termos de segundo grau.

Passo 3

Identificamos os termos de maior grau no numerador e no denominador:
  • Numerador: (o termo dominante)
  • Denominador: (o termo dominante)
Podemos simplificar a expressão focando apenas nesses termos:

Passo 4

Agora, substituímos essa simplificação de volta na expressão original com a raiz:
No entanto, aqui temos um problema: a raiz quadrada de um número negativo não é um número real. Isso indica que, para valores de muito grandes, a expressão dentro da raiz se torna negativa.

Passo 5

Como estamos lidando com limites no contexto dos números reais, e a expressão dentro da raiz está resultando em um número negativo quando tende ao infinito, concluímos que o limite não existe nos números reais. Ou seja, a expressão não possui um limite real definido à medida que cresce sem limites.

Resposta

O limite não existe nos números reais, pois a expressão dentro da raiz se torna negativa quando tende ao infinito.

Exercícios relacionados

Encontre os limites.
Seja a relação em tal que:
a) Quais são os elementos de ?
b) é reflexiva? é simétrica? é transitiva? é anti-simétrica?
c) é uma relação de equivalência? Em caso positivo, descreva e o conjunto quociente .
Encontre os limites.
Encontre os limites.