Encontre os limites: lim (x, y) (1 / 27 ; pi^3) cos raiz[3]x y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para encontrar o limite de cos raiz[3]x y quando (x, y) se aproxima de (127, pi^3). A matéria envolvida aqui é cálculo de limites de funções de duas variáveis, e para resolver isso, vamos precisar entender sobre continuidade de funções e como calcular limites em várias direções.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte dentro do cosseno: raiz[3]x y. Isso significa a raiz cúbica do produto de x e y. Quando (x, y) se aproxima de (127, pi^3), o produto x y se aproxima de:
x y 127 times pi^3 = pi^327

Passo 3

Agora, vamos calcular a raiz cúbica desse resultado:
raiz[3]pi^327 = raiz[3]pi^3raiz[3]27 = pi3
Aqui usamos a propriedade das potências que diz que raiz[3]a^3 = a e raiz[3]b^3 = b.

Passo 4

Com isso, o argumento do cosseno se aproxima de pi3. Agora, vamos calcular o cosseno desse valor:
cos(pi3) = 12
Sabemos que o cosseno de pi3 é 12 a partir das propriedades trigonométricas básicas.

Resposta

O limite é 12.

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