Limites com três variáveis. Encontre os limites abaixo, se existir. lim (x, y) (1,-1,-1) 2 x y+y zx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o limite de uma função com três variáveis quando as variáveis se aproximam de um ponto específico. A matéria envolvida aqui é Cálculo de Limites em Várias Variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites e verificar se ele existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que temos:
f(x, y, z) = 2xy + yzx^2 + y^2
Queremos encontrar:
lim (x, y, z) (1,-1,-1) 2xy + yzx^2 + y^2

Passo 3

Vamos verificar se o limite existe substituindo diretamente os valores para 2xy + yz = 2(1)(-1) + (-1)(-1) = -2 + 1 = -1 , x^2 + y^2 = (1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2 e :
  • Substituindo , e na função:
  • Substituindo e no denominador:

Passo 4

Agora, substituindo os resultados na expressão do limite:
lim (x, y, z) (1,-1,-1) 2xy + yzx^2 + y^2 = -12 = -12

Resposta

O limite é .

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