Encontre os limites: lim (x, y) (0,0) cos (x^2+y^3x+y+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que pede para a função de uma fração quando se aproxima de . Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de várias variáveis e também precisamos lembrar que a função cosseno é contínua. Para resolver isso, vamos analisar a fração dentro do cosseno e depois aplicar a continuidade da função.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a fração dentro do , que é . Precisamos encontrar o limite dessa fração quando se aproxima de .

Passo 3

Vamos calcular o limite da fração lim(x, y) (0,0) x^2 + y^3x + y + 1 = 0 + 00 + 0 + 1 = 0 quando . Quando e vão para 0, o numerador também vai para 0, e o denominador vai para 1. Então:

Passo 4

Agora que sabemos que o limite da fração é 0, podemos usar a propriedade da continuidade da função cosseno. Isso significa que:
lim(x, y) (0,0) cos(x^2 + y^3x + y + 1) = cos(lim(x, y) (0,0) x^2 + y^3x + y + 1) = cos(0)
E sabemos que .

Resposta

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