Limites com três variáveis. Encontre os limites abaixo, se existir.

Passo 1

Beleza, vamos encontrar o limite de quando as variáveis , e se aproximam de , e , respectivamente. Esse problema envolve o estudo de limites em funções de várias variáveis e a compreensão de funções contínuas. Para resolver, vamos precisar lembrar que funções contínuas têm seus limites simplesmente substituindo os valores no ponto ao qual estamos nos aproximando.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . A função arco-tangente (, também conhecida como ) é contínua em todo o seu domínio, o que significa que podemos encontrar o limite substituindo diretamente os valores para , e nos seus respectivos pontos de aproximação.

Passo 3

Vamos calcular o produto substituindo , e :
Agora, substituímos esse valor na função arco-tangente:

Resposta

O limite é .

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