Encontre os limites: lim (x, y) (0, pi / 4) sec x tg y

Passo 1

No enunciado, precisamos encontrar o limite da função sec x cdot tan y quando os pontos (x, y) se aproximam de (0, pi / 4). Vamos usar conceitos de limites e propriedades das funções trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função secante é definida como sec x = 1cos x e a tangente é tan y = sin ycos y. Então, podemos reescrever a expressão original:
sec x cdot tan y = 1cos x cdot sin ycos y = sin ycos x cdot cos y

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de cada parte da fração quando (x, y) (0, pi / 4):
  • cos x cos 0 = 1
  • sin y sin(pi4) = raiz22
  • cos y cos(pi4) = raiz22

Passo 4

Substituindo esses limites na expressão reescrita:
sin ycos x cdot cos y raiz221 cdot raiz22 = raiz22raiz22 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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