Limites com três variáveis. Encontre os limites abaixo, se existir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite com três variáveis juntos. A questão pede para encontrarmos o limite de
quando
se aproxima de
. Para isso, vamos usar o conceito de limites de funções de várias variáveis e verificar se a função é contínua nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função que estamos lidando:
. Sabemos que essa função é contínua em todos os pontos onde
,
e
são diferentes de zero, porque a divisão por zero não está definida.
Passo 3
Como estamos interessados no limite quando
, vamos verificar se a função é contínua nesse ponto. Como
,
e
são todas diferentes de zero, a função é contínua nesse ponto.
Passo 4
Quando uma função é contínua no ponto em que estamos calculando o limite, o limite é simplesmente o valor da função nesse ponto. Então, vamos calcular:
Passo 5
Agora, vamos somar os valores:
Para somar frações, encontramos um denominador comum, que no caso é 12:
Somando: