Limites com três variáveis. Encontre os limites abaixo, se existir.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite com três variáveis juntos. A questão pede para encontrarmos o limite de quando se aproxima de . Para isso, vamos usar o conceito de limites de funções de várias variáveis e verificar se a função é contínua nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que estamos lidando: . Sabemos que essa função é contínua em todos os pontos onde , e são diferentes de zero, porque a divisão por zero não está definida.

Passo 3

Como estamos interessados no limite quando , vamos verificar se a função é contínua nesse ponto. Como , e são todas diferentes de zero, a função é contínua nesse ponto.

Passo 4

Quando uma função é contínua no ponto em que estamos calculando o limite, o limite é simplesmente o valor da função nesse ponto. Então, vamos calcular:

Passo 5

Agora, vamos somar os valores:
Para somar frações, encontramos um denominador comum, que no caso é 12:
Somando:

Resposta

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