Encontre os limites reescrevendo primeiros as frações. lim (x, y) (1,1) x^2-2 x y+y^2x-y, x neq y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite aí: . Esse exercício é sobre cálculo de limites em funções de duas variáveis. Pra resolver, a gente vai precisar reescrever as frações e simplificar a expressão para encontrar o valor do limite quando e se aproximam de 1.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador da fração: . Perceba que isso parece uma forma quadrática. Na verdade, essa expressão pode ser fatorada. Vamos tentar fatorar.

Passo 3

Observamos que (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 é igual a , já que:
Então, podemos reescrever o numerador assim.

Passo 4

Substituindo de volta na expressão original, temos:
(x - y)^2x - y
Agora, podemos simplificar essa fração. Quando temos dividido por , podemos cancelar um de cima e de baixo, desde que , o que já está garantido no problema.

Passo 5

Após simplificar, a expressão fica:
x - y
Agora, o limite que queremos calcular é:
lim (x, y) (1,1) (x - y)

Passo 6

Para encontrar esse limite, basta substituir 1 - 1 = 0 e por 1:

Resposta

O limite é igual a .

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