Nos problemas 33-36, use o conceito de que y = c, -infinito < x < infinito é uma função constante se e somente se y' = 0 para determinar se a dada equação diferencial possui soluções constantes.
y' = y^2 + 2y - 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial e precisa descobrir se existem soluções constantes para ela. Ou seja, queremos saber se há algum valor de que resolve essa equação. Para isso, vamos usar o conceito de que uma função constante tem derivada zero ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter uma solução constante. Se é constante, sua derivada em relação a é zero, ou seja:

Passo 3

Agora, vamos substituir e na equação diferencial dada:

Passo 4

Legal, agora temos uma equação quadrática:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de que satisfazem a condição.

Passo 5

Para resolver a equação quadrática , podemos usar a fórmula de Bhaskara:
onde , e .
Calculando o discriminante:
Agora, encontrando os valores de :
Portanto, temos duas soluções:

Resposta

As soluções constantes para a equação diferencial são e . Ou seja, e satisfazem a condição .

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