Encontre a linearização da função no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a linearização da função no ponto . Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre aproximações lineares. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a linearização. A linearização de uma função em um ponto é uma maneira de aproximar a função por uma reta (ou, no caso de duas variáveis, por um plano) próximo a esse ponto. A fórmula para a linearização de uma função no ponto é:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , avaliadas no ponto .

Passo 3

Vamos calcular , que no nosso caso é :

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de :
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 5

Vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 6

Agora, substituímos todos esses valores na fórmula da linearização:
Podemos distribuir os termos para simplificar, se quiser:

Resposta

A linearização da função no ponto é:

Exercícios relacionados

Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F):
f) A derivada direcional pode ser escrita como o produto escalar entre o simétrico do gradiente e un vetor unitário .
Use a linearização da função no ponto para aproximar o valor de .
Aproxime para a função usando a linearização no ponto .