Encontre a linearização da função
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a linearização da função
no ponto
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre aproximações lineares. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a linearização. A linearização de uma função em um ponto é uma maneira de aproximar a função por uma reta (ou, no caso de duas variáveis, por um plano) próximo a esse ponto. A fórmula para a linearização
de uma função
no ponto
é:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, avaliadas no ponto
.
Passo 3
Vamos calcular
, que no nosso caso é
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
:
-
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
:
Passo 5
Vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Passo 6
Agora, substituímos todos esses valores na fórmula da linearização:
Podemos distribuir os termos para simplificar, se quiser:
Resposta
A linearização da função
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F):
f) A derivada direcional pode ser escrita como o produto escalar entre o simétrico do gradiente e un vetor unitário .
f) A derivada direcional pode ser escrita como o produto escalar entre o simétrico do gradiente e un vetor unitário
Use a linearização da função
no ponto
para aproximar o valor de
.
Aproxime
para a função
usando a linearização no ponto
.