Encontre a linearização de no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão pede pra encontrar a linearização da função no ponto .
O que é linearização?
Linearização é uma forma de aproximar uma função complexa por uma reta (ou plano, no caso de funções de duas variáveis) perto de um ponto específico. Isso nos ajuda a entender o comportamento da função perto desse ponto sem complicar demais com a matemática.
O que vamos precisar:
  1. A função que queremos linearizar.
  2. Calcular os valores da função e suas derivadas parciais no ponto dado.
  3. Usar a fórmula da linearização para montar nossa equação aproximada.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber qual é a função . Sem essa informação, não conseguimos avançar, porque a linearização depende da função específica.
Exemplo:
Vamos supor que . Assim, podemos seguir com os passos.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor da função no ponto :

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e :
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :

Passo 5

Agora que temos todos os valores necessários, vamos usar a fórmula da linearização para funções de duas variáveis:
Substituindo os valores que calculamos:

Resposta

A linearização da função no ponto é:

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