Encontre a linearização
de
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão pede pra encontrar a linearização da função
no ponto
.
O que é linearização?
Linearização é uma forma de aproximar uma função complexa por uma reta (ou plano, no caso de funções de duas variáveis) perto de um ponto específico. Isso nos ajuda a entender o comportamento da função perto desse ponto sem complicar demais com a matemática.
Linearização é uma forma de aproximar uma função complexa por uma reta (ou plano, no caso de funções de duas variáveis) perto de um ponto específico. Isso nos ajuda a entender o comportamento da função perto desse ponto sem complicar demais com a matemática.
O que vamos precisar:
- A função
que queremos linearizar. - Calcular os valores da função e suas derivadas parciais no ponto dado.
- Usar a fórmula da linearização para montar nossa equação aproximada.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber qual é a função
. Sem essa informação, não conseguimos avançar, porque a linearização depende da função específica.
Exemplo:
Vamos supor que . Assim, podemos seguir com os passos.
Vamos supor que
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor da função no ponto
:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
:
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Passo 5
Agora que temos todos os valores necessários, vamos usar a fórmula da linearização para funções de duas variáveis:
Substituindo os valores que calculamos:
Resposta
A linearização da função
no ponto
é:
Exercícios relacionados
A função
é diferenciável em
? Justifique sua resposta.
Seja
uma função diferenciável e seja
dada por
Calcule
e
sabendo que
e
.
Seja
. Determine o domínio de
.
Mostre que a função
é diferenciável em todos os pontos de
.