Seja f: R^2 R uma função diferenciável e seja g: R^2 R dada por
g(u, v)=f(u^2+v^2, 2 u v)
Calcule partial gpartial u(1,1) e partial gpartial v(1,1) sabendo que partial fpartial x(2,2)=-1 e partial fpartial y(2,2)=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função g(u, v) = f(u^2 + v^2,, 2uv) que é diferenciável, e outra função partial fpartial x = -1 e partial fpartial y = 3 definida por
O objetivo é calcular as derivadas parciais e , sabendo que em :
Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia para derivadas parciais, que nos ajuda a calcular como as mudanças em e afetam através de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções internas dentro de x = u^2 + v^2 e y = 2uv . Podemos escrever:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Regra da Cadeia para calcular partial gpartial u = partial fpartial x cdot partial xpartial u + partial fpartial y cdot partial ypartial u . A Regra da Cadeia para funções de várias variáveis diz que:
Vamos calcular cada parte dessa expressão.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais de partial xpartial u = partialpartial u(u^2 + v^2) = 2u e partial ypartial u = partialpartial u(2uv) = 2v em relação a partial gpartial u = partial fpartial x cdot 2u + partial fpartial y cdot 2v :
Então, substituindo na expressão da Regra da Cadeia:

Passo 5

Da mesma forma, vamos calcular partial gpartial v = partial fpartial x cdot partial xpartial v + partial fpartial y cdot partial ypartial v :
partial xpartial v = partialpartial v(u^2 + v^2) = 2v
Calculando as derivadas parciais:
partial ypartial v = partialpartial v(2uv) = 2u
partial gpartial v = partial fpartial x cdot 2v + partial fpartial y cdot 2u
Substituindo na expressão:

Passo 6

Agora, vamos substituir x = 1^2 + 1^2 = 2 e y = 2 cdot 1 cdot 1 = 2 e partial fpartial x(2,2) = -1 e partial fpartial y(2,2) = 3 nas expressões que encontramos. Primeiro, calculamos partial gpartial u(1,1) = (-1) cdot 2 cdot 1 + 3 cdot 2 cdot 1 = -2 + 6 = 4 e partial gpartial v(1,1) = (-1) cdot 2 cdot 1 + 3 cdot 2 cdot 1 = -2 + 6 = 4 nesse ponto:
Sabemos que:
Substituindo esses valores e nas derivadas de :

Resposta

partial gpartial u(1,1) = 4 e partial gpartial v(1,1) = 4

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