Seja
uma função diferenciável e seja
dada por
Calcule
e
sabendo que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
que é diferenciável, e outra função
definida por
O objetivo é calcular as derivadas parciais
e
, sabendo que em
:
Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia para derivadas parciais, que nos ajuda a calcular como as mudanças em
e
afetam
através de
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções internas dentro de
. Podemos escrever:
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Regra da Cadeia para calcular
. A Regra da Cadeia para funções de várias variáveis diz que:
Vamos calcular cada parte dessa expressão.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais de
e
em relação a
:
Então, substituindo na expressão da Regra da Cadeia:
Passo 5
Da mesma forma, vamos calcular
:
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na expressão:
Passo 6
Agora, vamos substituir
e
nas expressões que encontramos. Primeiro, calculamos
e
nesse ponto:
Sabemos que:
Substituindo esses valores e
nas derivadas de
:
Resposta
Exercícios relacionados
Nos Problemas de 1 até 8, achar a solução geral da equação diferencial dada:
A função
é diferenciável em
? Justifique sua resposta.
Encontre a linearização
de
no ponto
.