Seja uma função diferenciável e seja dada por
Calcule e sabendo que e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que é diferenciável, e outra função definida por
O objetivo é calcular as derivadas parciais e , sabendo que em :
Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia para derivadas parciais, que nos ajuda a calcular como as mudanças em e afetam através de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções internas dentro de . Podemos escrever:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Regra da Cadeia para calcular . A Regra da Cadeia para funções de várias variáveis diz que:
Vamos calcular cada parte dessa expressão.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais de e em relação a :
Então, substituindo na expressão da Regra da Cadeia:

Passo 5

Da mesma forma, vamos calcular :
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na expressão:

Passo 6

Agora, vamos substituir e nas expressões que encontramos. Primeiro, calculamos e nesse ponto:
Sabemos que:
Substituindo esses valores e nas derivadas de :

Resposta

Exercícios relacionados

Nos Problemas de 1 até 8, achar a solução geral da equação diferencial dada:
A função é diferenciável em ? Justifique sua resposta.
Encontre a linearização de no ponto .