A função
é diferenciável em
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer saber se a função
é diferenciável no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto e quais são os critérios para verificar isso. Vamos precisar das derivadas parciais de
nesse ponto e analisar se elas existem e são contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é ser diferenciável. Uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se ela tem derivadas parciais naquele ponto e se essas derivadas variam de forma suave (ou seja, são contínuas) perto desse ponto. Isso basicamente significa que a função pode ser aproximada por um plano tangente naquele ponto.
Passo 3
Então, para verificar se
é diferenciável em
, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
nesse ponto. As derivadas parciais nos dão a taxa de variação da função em cada direção.
Passo 4
Depois de encontrar as derivadas parciais
e
em
, vamos verificar se essas derivadas são contínuas perto desse ponto. Se forem, então podemos concluir que
é diferenciável ali.
Passo 5
Sem a expressão específica da função
, não podemos calcular as derivadas ou verificar a continuidade delas. Portanto, precisamos conhecer a forma exata de
para prosseguir com a análise.
Resposta
Para determinar se a função
é diferenciável em
, precisamos conhecer a expressão de
. Com a fórmula de
, podemos calcular as derivadas parciais e verificar sua continuidade no ponto em questão.
Exercícios relacionados
Seja
uma função diferenciável e seja
dada por
Calcule
e
sabendo que
e
.
Encontre a linearização
de
no ponto
.
Seja
. Determine o domínio de
.