A função é diferenciável em ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer saber se a função é diferenciável no ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto e quais são os critérios para verificar isso. Vamos precisar das derivadas parciais de nesse ponto e analisar se elas existem e são contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é ser diferenciável. Uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se ela tem derivadas parciais naquele ponto e se essas derivadas variam de forma suave (ou seja, são contínuas) perto desse ponto. Isso basicamente significa que a função pode ser aproximada por um plano tangente naquele ponto.

Passo 3

Então, para verificar se é diferenciável em , vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e a nesse ponto. As derivadas parciais nos dão a taxa de variação da função em cada direção.

Passo 4

Depois de encontrar as derivadas parciais e em , vamos verificar se essas derivadas são contínuas perto desse ponto. Se forem, então podemos concluir que é diferenciável ali.

Passo 5

Sem a expressão específica da função , não podemos calcular as derivadas ou verificar a continuidade delas. Portanto, precisamos conhecer a forma exata de para prosseguir com a análise.

Resposta

Para determinar se a função é diferenciável em , precisamos conhecer a expressão de . Com a fórmula de , podemos calcular as derivadas parciais e verificar sua continuidade no ponto em questão.

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Seja uma função diferenciável e seja dada por
Calcule e sabendo que e .
Encontre a linearização de no ponto .
Seja . Determine o domínio de .