Use os testes da razão ou da raiz para determinar se a série converge ou diverge, ou justifique porque os testes são falhos.
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a série . O assunto aqui é Séries Numéricas, e vamos usar o Teste da Razão para determinar se a série converge ou diverge. Para isso, precisamos entender como aplicar esse teste e calcular o limite da razão entre termos consecutivos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele nos ajuda a verificar a convergência de uma série observando o limite da razão entre o termo e quando tende ao infinito. A fórmula é:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Agora, vamos identificar an = n5^n na nossa série:
an+1 = n+15^n+1
E o termo seguinte an+1an = n+15^n+1n5^n = n+15^n+1 cdot 5^nn = n+15n será:
Vamos calcular a razão :
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando L = limn to infty n+15n = limn to infty n5n + 15n = 15 + 0 = 15 tende ao infinito:
Passo 5
Como , segundo o Teste da Razão, a série converge.