Use os testes da razão ou da raiz para determinar se a série converge ou diverge, ou justifique porque os testes são falhos.
(f) sumn=1^infty n5^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver a série . O assunto aqui é Séries Numéricas, e vamos usar o Teste da Razão para determinar se a série converge ou diverge. Para isso, precisamos entender como aplicar esse teste e calcular o limite da razão entre termos consecutivos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele nos ajuda a verificar a convergência de uma série observando o limite da razão entre o termo L = limn to infty | an+1an | e quando tende ao infinito. A fórmula é:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Agora, vamos identificar an = n5^n na nossa série:
an+1 = n+15^n+1
E o termo seguinte an+1an = n+15^n+1n5^n = n+15^n+1 cdot 5^nn = n+15n será:
Vamos calcular a razão :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando L = limn to infty n+15n = limn to infty n5n + 15n = 15 + 0 = 15 tende ao infinito:

Passo 5

Como , segundo o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge.

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