Use a aproximação linear de
em
para estimar
. Compare com o valor obtido usando uma calculadora.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a aproximação linear da função
no ponto
para estimar o valor de
. Isso significa que vamos usar uma reta (ou, no caso de duas variáveis, um plano) para aproximar o valor da função perto desse ponto.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor da função e suas derivadas parciais no ponto
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda em cada direção.
Vamos calcular:
-
Valor da função em (0, 0):
-
Derivada parcial em relação a
: Avaliando em: -
Derivada parcial em relação a
: Avaliando em:
Passo 3
Com esses valores, podemos montar a aproximação linear da função perto de
. A fórmula geral da aproximação linear é:
Como estamos no ponto
:
Ou seja, a aproximação linear simplifica a função para
.
Passo 4
Agora, vamos usar essa aproximação para estimar
:
Então, a aproximação linear nos dá que
é aproximadamente 0.98.
Passo 5
Para comparar, vamos calcular o valor real de
usando uma calculadora:
Resposta
Usando a aproximação linear, estimamos que
. O valor real calculado é aproximadamente 0.9803. A estimativa está muito próxima do valor verdadeiro!
Exercícios relacionados
Nos exercícios abaixo, encontre a equação do plano tangente no ponto dado.
,
Se possível, resolver as seguintes EDO(e)
Use os testes da razão ou da raiz para determinar se a série converge ou diverge, ou justifique porque os testes são falhos.
(f)
(f)
Encontre a linearização de
no ponto
. Use-a para estimar
e compare com o valor obtido pela calculadora.