Use a aproximação linear de f(x, y) = e^(x^2 + y) em (0,0) para estimar f(0.01, -0.02). Compare com o valor obtido usando uma calculadora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a aproximação linear da função no ponto para estimar o valor de . Isso significa que vamos usar uma reta (ou, no caso de duas variáveis, um plano) para aproximar o valor da função perto desse ponto.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor da função e suas derivadas parciais no ponto . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda em cada direção.
Vamos calcular:
  1. Valor da função em (0, 0):
  2. Derivada parcial em relação a :
    Avaliando em :
  3. Derivada parcial em relação a :
    Avaliando em :

Passo 3

Com esses valores, podemos montar a aproximação linear da função perto de . A fórmula geral da aproximação linear é:
Como estamos no ponto :
Ou seja, a aproximação linear simplifica a função para .

Passo 4

Agora, vamos usar essa aproximação para estimar :
Então, a aproximação linear nos dá que é aproximadamente 0.98.

Passo 5

Para comparar, vamos calcular o valor real de usando uma calculadora:

Resposta

Usando a aproximação linear, estimamos que . O valor real calculado é aproximadamente 0.9803. A estimativa está muito próxima do valor verdadeiro!

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