Use fórmulas de inversão da transformada de Laplace de funções básicas para calcular a transformada inversa L^{-1}{f(t)}.
(l) L^-1{1/((s^2+1)(s^2+4))}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada inversa de Laplace juntos! O enunciado pede para achar a transformada inversa de L^-1{1/((s^2+1)(s^2+4))}. Vamos precisar usar a técnica de frações parciais para decompor essa expressão e depois aplicar as fórmulas básicas da transformada de Laplace inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a decomposição em frações parciais da função . Isso significa que queremos escrever essa fração como a soma de duas frações mais simples:

Passo 3

Agora, multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
Para que essa igualdade seja válida para todo valor de s, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais:

Passo 5

Resolvemos o sistema de equações:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,

Passo 6

Agora, substituímos os valores de A e B na expressão das frações parciais:

Passo 7

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos termos:

Passo 8

Substituímos as transformadas inversas encontradas na expressão:

Resposta

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