Encontre o maior intervalo onde a solução do problema de valor inicial a seguir existe e é única, (a) (t^2 - 3t) y'' + t y' - (3 + t) y = 0, y(1) = 1, y'(1) = 2.
(b) (t-2) y'' + y' - (t-2) t y = 0, y(3) = 1, y'(3) = 2.
[Resp: (a) I = (0,3) (b) I = [2, +infinito)
[Nos problemas anteriores Lembre do Teorema de Existência e Unicidade: Considere o problema de valor inicial d^2y/dt^2 + p(t) dy/dt + q(t) y = g(t), y(t0) = y0, dy/dt(t0) = z0. onde p, q e g são funções contínuas em um intervalo aberto I que contém o ponto t t0. Então existe uma única solução desse problema de valor inicial, y = phi(t) definida para todo t in I ].

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois problemas de valor inicial com equações diferenciais de segunda ordem. O objetivo é encontrar o maior intervalo onde a solução existe e é única. Para isso, vamos usar o Teorema de Existência e Unicidade, que basicamente nos diz que se certas condições sobre as funções da equação diferencial forem atendidas (como continuidade), então temos uma solução única nesse intervalo.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). A equação dada é:
E as condições iniciais são e .
Primeiro, precisamos escrever a equação na forma padrão do Teorema de Existência e Unicidade:
Para isso, vamos dividir tudo por , assumindo que :
Aqui, e .
Agora, para que o Teorema de Existência e Unicidade funcione, as funções e precisam ser contínuas no intervalo considerado. Vamos ver onde se anula, pois nesses pontos a equação não está definida:
Portanto, os pontos críticos são e . Como as condições iniciais estão em , que está entre 0 e 3, o maior intervalo em que a solução existe e é única será entre esses dois pontos, excluindo eles: .

Passo 3

Agora vamos para a parte (b). A equação dada é:
E as condições iniciais são e .
Vamos novamente colocar a equação na forma padrão dividindo por , assumindo que :
Aqui, e .
O ponto crítico aqui é , onde a equação não está definida. Como as condições iniciais estão em , que é maior que 2, o maior intervalo onde a solução existe e é única é de até o infinito, excluindo o próprio 2: .

Resposta

(a)
(b)

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