Encontre o maior intervalo onde a solução do problema de valor inicial a seguir existe e é única, (a)
.
(b)
.
[Resp: (a)
(b)
[Nos problemas anteriores Lembre do Teorema de Existência e Unicidade: Considere o problema de valor inicial
. onde
e
são funções contínuas em um intervalo aberto I que contém o ponto t
. Então existe uma única solução desse problema de valor inicial,
definida para todo
].
(b)
[Resp: (a)
[Nos problemas anteriores Lembre do Teorema de Existência e Unicidade: Considere o problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois problemas de valor inicial com equações diferenciais de segunda ordem. O objetivo é encontrar o maior intervalo onde a solução existe e é única. Para isso, vamos usar o Teorema de Existência e Unicidade, que basicamente nos diz que se certas condições sobre as funções da equação diferencial forem atendidas (como continuidade), então temos uma solução única nesse intervalo.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). A equação dada é:
E as condições iniciais são
e
.
Primeiro, precisamos escrever a equação na forma padrão do Teorema de Existência e Unicidade:
Para isso, vamos dividir tudo por
, assumindo que
:
Aqui,
e
.
Agora, para que o Teorema de Existência e Unicidade funcione, as funções
e
precisam ser contínuas no intervalo considerado. Vamos ver onde
se anula, pois nesses pontos a equação não está definida:
Portanto, os pontos críticos são
e
. Como as condições iniciais estão em
, que está entre 0 e 3, o maior intervalo em que a solução existe e é única será entre esses dois pontos, excluindo eles:
.
Passo 3
Agora vamos para a parte (b). A equação dada é:
E as condições iniciais são
e
.
Vamos novamente colocar a equação na forma padrão dividindo por
, assumindo que
:
Aqui,
e
.
O ponto crítico aqui é
, onde a equação não está definida. Como as condições iniciais estão em
, que é maior que 2, o maior intervalo onde a solução existe e é única é de
até o infinito, excluindo o próprio 2:
.
Resposta
(a)
(b)