Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. sumn=1^infty n!x^n1 cdot 3 cdot 5 cdots cdots(2 n-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Isso tudo tá ligado ao estudo de séries de potências na matemática, onde queremos saber para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a expressão geral da série. O termo geral da série é an = n!x^n(2n)!2^nn! = 2^n (n!)^2 x^n(2n)! . O denominador é o produto dos primeiros números ímpares, que pode ser representado como . Então, podemos reescrever o termo geral como:

Passo 3

Agora, para encontrar o raio de convergência, vamos usar o Teste da Razão (ou Teste da Razão de D’Alembert). Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de L = limn to infty | an+1an | a série converge. O teste consiste em calcular o limite:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular esse limite:
an+1an = 2^n+1 ((n+1)!)^2 x^n+1(2(n+1))! cdot (2n)!2^n (n!)^2 x^n = 2 cdot (n+1)^2 cdot x(2n+2)(2n+1)
Simplificando:
an+1an = 2x cdot (n+1)^2(2n+1)(2n+2)
Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty 2x cdot (n+1)^24n^2 + 6n + 2 = 2x cdot 14 = x2 tende ao infinito:

Passo 5

De acordo com o Teste da Razão, a série converge quando |x|2 < 1 implies |x| < 2 :
Então, o raio de convergência é .

Passo 6

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que para sumn=1^infty n! (2)^n1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1) , a série converge. Precisamos verificar o que acontece nos extremos sumn=1^infty 2^n (n!)^2 2^n(2n)! = sumn=1^infty 4^n (n!)^2(2n)! e sumn=1^infty n! (-2)^n1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1) .
  1. Para :
Usando a representação simplificada:
Esse tipo de série diverge, pois os termos n��o tendem a zero.
  1. Para :
De forma semelhante ao caso anterior, a série também diverge.
Portanto, o intervalo de convergência é .

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados