Mostre que as funções e^(k1 * x) e e^(k2 x) são linearmente independentes em R se k1 != k2.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos mostrar que as funções e são linearmente independentes no conjunto dos números reais , desde que . Para isso, vamos precisar entender o conceito de independência linear de funções e como aplicar esse conceito para provar nossa afirmação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa duas funções serem linearmente independentes. Duas funções e são linearmente independentes se a única combinação linear delas que dá a função zero é aquela em que ambos os coeficientes são zero. Ou seja, se para todo em , então necessariamente e .

Passo 3

Aplicando isso às nossas funções, temos que queremos mostrar que a equação:
só é verdadeira se e .

Passo 4

Vamos rearranjar a equação:
Dividindo ambos os lados por (que nunca é zero):

Passo 5

Agora, note que é uma função exponencial que não é constante, já que . A única maneira de ser igual a uma expressão que depende de para todo é se . Se , então da equação original, também .

Resposta

Portanto, as funções e são linearmente independentes em quando .

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