Mostre que as funções
e
são linearmente independentes em
se
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos mostrar que as funções
e
são linearmente independentes no conjunto dos números reais
, desde que
. Para isso, vamos precisar entender o conceito de independência linear de funções e como aplicar esse conceito para provar nossa afirmação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa duas funções serem linearmente independentes. Duas funções
e
são linearmente independentes se a única combinação linear delas que dá a função zero é aquela em que ambos os coeficientes são zero. Ou seja, se
para todo
em
, então necessariamente
e
.
Passo 3
Aplicando isso às nossas funções, temos que queremos mostrar que a equação:
só é verdadeira se
e
.
Passo 4
Vamos rearranjar a equação:
Dividindo ambos os lados por
(que nunca é zero):
Passo 5
Agora, note que
é uma função exponencial que não é constante, já que
. A única maneira de
ser igual a uma expressão que depende de
para todo
é se
. Se
, então da equação original, também
.
Resposta
Portanto, as funções
e
são linearmente independentes em
quando
.