Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Então, galera! A gente tem que descobrir o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série: . Estamos falando de séries de potências aqui, que pertence à matéria de cálculo, especificamente no estudo de séries infinitas. Para resolver isso, vamos usar testes de convergência como o Teste da Razão ou o Teste da Raiz, além de analisar os limites para encontrar o intervalo certinho onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o raio de convergência usando o Teste da Razão. Esse teste ajuda a determinar para quais valores de a série vai convergir. A fórmula geral para o Teste da Razão é:
Se L < 1, a série converge; se L > 1, a série diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos aplicar isso na nossa série. Aqui, an = (-1)^n x^nn+1. Então, vamos calcular an+1:
an+1 = (-1)^n+1 x^n+1(n+1)+1 = (-1)^n+1 x^n+1n+2
Agora, substituímos na fórmula do teste:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | (-1)^n+1 x^n+1 / (n+2)(-1)^n x^n / (n+1) |
Passo 4
Simplificando a expressão dentro do limite:
L = limn to infty | (-1)^n+1 x^n+1 (n+1)(-1)^n x^n (n+2) | = limn to infty | -x (n+1)n+2 | = limn to infty | -x (n+1)n+2 |
Como estamos interessados no valor absoluto, o sinal negativo não importa:
L = limn to infty |x| (n+1)n+2
Passo 5
Agora, vamos simplificar o limite:
L = |x| cdot limn to infty n+1n+2 = |x| cdot 1 = |x|
Para a série convergir, precisamos que L < 1:
|x| < 1
Isso significa que o raio de convergência R é 1.
Passo 6
Agora que temos o raio de convergência, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para |x| < 1. Precisamos verificar os pontos finais, x = -1 e x = 1, para ver se a série também converge nesses valores.
Essa é uma série alternada. O Teste da Série Alternada diz que se os termos decrescem em módulo e tendem a zero, a série converge. Aqui, 1n+1 tende a zero e é decrescente, então a série converge em x = 1.
Passo 8
Agora, vamos testar x = -1:
sumn=0^infty (-1)^n (-1)^nn+1 = sumn=0^infty 1n+1
Isso se torna a série harmônica, que sabemos que diverge. Portanto, a série não converge em x = -1.
Resposta
O raio de convergência é 1 e o intervalo de convergência é -1 < x <= 1.